\(\begin{pmatrix}\lambda &0\cr 0&\lambda\cr\end{pmatrix} = \lim_{p\to\infty}\begin{pmatrix}\lambda &1/p\cr 0&\lambda\cr\end{pmatrix}\) donc une matrice triangulaire à valeurs propres non distinctes est limite de matrices non diagonalisables. Par conjugaison, la frontière de \(D_n(\C)\) contient l’ensemble des matrices ayant au moins une valeur propre multiple.

Réciproquement, soit \((A_k)\) une suite de matrices non diagonalisables convergeant vers une matrice \(A\). Les matrices \(A_k\) ont toutes au moins une valeur propre multiple, et ces valeurs propres sont bornées (car si \(\lambda\) est une valeur propre de \(M\) alors \(|\lambda| \le \| M\|\) en prenant une norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) subordonnée à une norme sur \(\C^n\)) donc on peut trouver une suite \((z_k)\) de complexes convergeant vers un complexe \(z\) telle que \(\chi'_{A_k}(z_k) = 0\). A la limite on a \(\chi_A(z) = 0\) ce qui prouve que \(A\) a au moins une valeur propre multiple.

Conclusion : la frontière de \(D_n(\C)\) est exactement l’ensemble des matrices diagonalisables ayant au moins une valeur propre multiple et l’intérieur de \(D_n(\C)\) est l’ensemble des matrices à valeurs propres distinctes.

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