$\begin{pmatrix}\lambda &0\cr 0&\lambda\cr\end{pmatrix} = \lim_{p\to\infty}\begin{pmatrix}\lambda &1/p\cr 0&\lambda\cr\end{pmatrix}$ donc une matrice triangulaire à valeurs propres non distinctes est limite de matrices non diagonalisables. Par conjugaison, la frontière de $D_n(\C)$ contient l’ensemble des matrices ayant au moins une valeur propre multiple.

Réciproquement, soit $(A_k)$ une suite de matrices non diagonalisables convergeant vers une matrice $A$ . Les matrices $A_k$ ont toutes au moins une valeur propre multiple, et ces valeurs propres sont bornées (car si $\lambda$ est une valeur propre de $M$ alors $|\lambda| \le \| M\|$ en prenant une norme sur $\mathcal{M}_n(\C)$ subordonnée à une norme sur $\C^n$ ) donc on peut trouver une suite $(z_k)$ de complexes convergeant vers un complexe $z$ telle que $\chi'_{A_k}(z_k) = 0$ . A la limite on a $\chi_A(z) = 0$ ce qui prouve que $A$ a au moins une valeur propre multiple.

Conclusion : la frontière de $D_n(\C)$ est exactement l’ensemble des matrices diagonalisables ayant au moins une valeur propre multiple et l’intérieur de $D_n(\C)$ est l’ensemble des matrices à valeurs propres distinctes.

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