Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour \(u = (\vec x,\vec y) \in G\) : \[\|u\|_1 = \|\vec x\,\|_E + \|\vec y\,\|_F,\quad \|u\|_2 = \sqrt{\|\vec x\,\|_E^2 + \|\vec y\,\|_F^2},\quad \|u\|_\infty = \max(\|\vec x\,\|_E , \|\vec y\,\|_F).\]
1
Montrer que ce sont des normes sur \(G\) et qu’elles sont deux à deux équivalentes (sans hypothèse de dimension finie).
2
On prend \(E=F\). Montrer que pour chacune de ces normes, l’application \(G \to E, {(\vec x,\vec y\,)} \mapsto {\vec x+\vec y}\) est continue.