L2 Analyse Topologie Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 2 questions

exo7 4765

Soient $E,F$ deux evn et $G = E \times F$ . On pose pour $u = (\vec x,\vec y) \in G$ : $\|u\|_1 = \|\vec x\,\|_E + \|\vec y\,\|_F,\quad \|u\|_2 = \sqrt{\|\vec x\,\|_E^2 + \|\vec y\,\|_F^2},\quad \|u\|_\infty = \max(\|\vec x\,\|_E , \|\vec y\,\|_F).$

Montrer que ce sont des normes sur $G$ et qu’elles sont deux à deux équivalentes (sans hypothèse de dimension finie).

On prend $E=F$ . Montrer que pour chacune de ces normes, l’application $G \to E, {(\vec x,\vec y\,)} \mapsto {\vec x+\vec y}$ est continue.