Soit $N$ une norme sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$ . D’après l’exercice [ex:rou5], $\|\;\|_1$ est une norme sous-multiplicative.

Puisque $\mathcal{M}_n(\Rr)$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\Rr$ , $N$ et $\|\;\|_1$ sont des normes équivalentes. Par suite, il existe deux réels strictement positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha\|\;\|_1\leqslant N\leqslant\beta\|\;\|_1$ .

Pour $(A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\Rr)\right)^2$ ,

$N(AB)\leqslant\beta\|AB\|_1\leqslant\beta\|A\|_1\|B\|_1\leqslant \frac{\beta}{\alpha^2}N(A)N(B)$

et le réel $k= \frac{\beta}{\alpha^2}$ est un réel strictement positif tel que $\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2$ , $N(AB)\leqslant kN(A)N(B)$ .

Remarque. Le résultat précédent signifie que $N'= \frac{1}{K}N$ est une norme sous-multiplicative car pour $(A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\Rr)\right)^2$ ,

$N'(AB)= \frac{1}{k^2}N(AB)\leqslant \frac{1}{k^2}N(A)N(B)= \frac{1}{k}N(A) \frac{1}{k}N(B)=N'(A)N'(B)$ .

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