Soit \(N\) une norme sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\). D’après l’exercice [ex:rou5], \(\|\;\|_1\) est une norme sous-multiplicative.

Puisque \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) est un espace vectoriel de dimension finie sur \(\Rr\), \(N\) et \(\|\;\|_1\) sont des normes équivalentes. Par suite, il existe deux réels strictement positifs \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha\|\;\|_1\leqslant N\leqslant\beta\|\;\|_1\).

Pour \((A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\Rr)\right)^2\),

\(N(AB)\leqslant\beta\|AB\|_1\leqslant\beta\|A\|_1\|B\|_1\leqslant \frac{\beta}{\alpha^2}N(A)N(B)\)

et le réel \(k= \frac{\beta}{\alpha^2}\) est un réel strictement positif tel que \(\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2\), \(N(AB)\leqslant kN(A)N(B)\).

Remarque. Le résultat précédent signifie que \(N'= \frac{1}{K}N\) est une norme sous-multiplicative car pour \((A,B)\in\left(\mathcal{M}_n(\Rr)\right)^2\),

\(N'(AB)= \frac{1}{k^2}N(AB)\leqslant \frac{1}{k^2}N(A)N(B)= \frac{1}{k}N(A) \frac{1}{k}N(B)=N'(A)N'(B)\).

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