exo7 1744

Soit $f:\R^n\rightarrow \R$ une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

(1) $\forall M>0$, $\exists R>0$ tel que $\|x\|>R \Rightarrow \vert f(x)\vert >M$.

(2) Pour toute partie bornée $B$ de $\R$, $f^{-1} (B)$ est une partie bornée de $\R^n$.

(3) Pour toute partie compacte $K$ de $\R$, $f^{-1} (K)$ est une partie compacte de $\R^n$.