1
Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?
On se place désormais dans \((\R,|\, .\, |)\).
2
Quelles sont les boules ouvertes ? fermées ?
3
Ouverts et fermés de $\R${} :
4
soit \((I_a)_{a\in A}\) une famille d’intervalles ouverts non vides de \(\R\), deux à deux disjoints. Montrer que A est au plus dénombrable.
5
soit \(O\) un ouvert de \(\R\), et \(a\in O\). On pose \(A=\{x\in\R\ | \ x\not\in O\text{ et } x>a\}\) et \(B=\{x\in\R\ | \ x\not\in O \text{ et } x<a\}\). Etudier l’existence de \(\inf A\) et \(\sup B\).
6
en déduire que :
7
tout ouvert de \(\R\) est réunion d’une famille au plus dénombrable d’intervalles ouverts
8
tout fermé de $\R${} est réunion d'une famille au plus dénombrable d'intervalles fermés.