exo7 1887

Quelles sont toutes les normes sur le $\R$-espace vectoriel $\R$ ?

On se place désormais dans $(\R,|\, .\, |)$.

Quelles sont les boules ouvertes ? fermées ?

Ouverts et fermés de $\R$ :

soit $(I_a)_{a\in A}$ une famille d’intervalles ouverts non vides de $\R$, deux à deux disjoints. Montrer que A est au plus dénombrable.

soit $O$ un ouvert de $\R$, et $a\in O$. On pose $A=\{x\in\R\ | \ x\not\in O\text{ et } x>a\}$ et $B=\{x\in\R\ | \ x\not\in O \text{ et } x<a\}$. Etudier l’existence de $\inf A$ et $\sup B$.

en déduire que :

tout ouvert de $\R$ est réunion d’une famille au plus dénombrable d’intervalles ouverts

tout fermé de $\R$ est réunion d’une famille au plus dénombrable d’intervalles fermés.