On munit \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) d’une norme sous-multiplicative \(\|\;\|\). Soit \(A\in GL_n(\Rr)\). On sait que \(GL_n(\Rr)\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) et donc pour \(H\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) de norme suffisamment petite, \(A+H\in GL_n(\Rr)\). Pour un tel \(H\)

\((A+H)^{-1}-A^{-1}=(A+H)^{-1}(I_n-(A+H)A^{-1})=-(A+H)^{-1}HA^{-1}\)

puis

\[\begin{align*}\ensuremath (A+H)^{-1}-A^{-1}+A^{-1}HA^{-1}&=-(A+H)^{-1}HA^{-1}+A^{-1}HA^{-1}=(A+H)^{-1}(-HA^{-1}+(A+H)A^{-1}HA^{-1})\\ &=(A+H)^{-1}HA^{-1}HA^{-1}. \end{align*}\]

Par suite, \(\left\|f(A+H)-f(A)+A^{-1}HA^{-1}\right\|=\left\|(A+H)^{-1}-A^{-1}+A^{-1}HA^{-1}\right\|\leqslant\left\|(A+H)^{-1}\right\|\left\|A^{-1}\right\|^2\left\|H\right\|^2\).

Maintenant, la formule \(M^{-1}= \frac{1}{\text{det}(M)}{^t}(\text{com}(M))\), valable pour tout \(M\in GL_n(\Rr)\), et la continuité du déterminant montre que l’application \(M\mapsto M^{-1}\) est continue sur l’ouvert \(GL_n(\Rr)\). On en déduit que \(\left\|(A+H)^{-1}\right\|\) tend vers \(\left\|A^{-1}\right\|\) quand \(H\) tend vers \(0\). Par suite,

\(\lim_{H \rightarrow 0}\left\|(A+H)^{-1}\right\|\left\|A^{-1}\right\|^2\left\|H\right\|=0\) et donc \(\lim_{H \rightarrow 0} \frac{1}{\|H\|}\left\|(A+H)^{-1}-A^{-1}+A^{-1}HA^{-1}\right\|=0\).

Comme l’application \(H\mapsto -A^{-1}HA^{-1}\) est linéaire, c’est la différentielle de \(f\) en \(A\).

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