On munit $\mathcal{M}_n(\Rr)$ d’une norme sous-multiplicative $\|\;\|$ . Soit $A\in GL_n(\Rr)$ . On sait que $GL_n(\Rr)$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\Rr)$ et donc pour $H\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ de norme suffisamment petite, $A+H\in GL_n(\Rr)$ . Pour un tel $H$

$(A+H)^{-1}-A^{-1}=(A+H)^{-1}(I_n-(A+H)A^{-1})=-(A+H)^{-1}HA^{-1}$

puis

$\begin{align*}\ensuremath (A+H)^{-1}-A^{-1}+A^{-1}HA^{-1}&=-(A+H)^{-1}HA^{-1}+A^{-1}HA^{-1}=(A+H)^{-1}(-HA^{-1}+(A+H)A^{-1}HA^{-1})\\ &=(A+H)^{-1}HA^{-1}HA^{-1}. \end{align*}$

Par suite, $\left\|f(A+H)-f(A)+A^{-1}HA^{-1}\right\|=\left\|(A+H)^{-1}-A^{-1}+A^{-1}HA^{-1}\right\|\leqslant\left\|(A+H)^{-1}\right\|\left\|A^{-1}\right\|^2\left\|H\right\|^2$ .

Maintenant, la formule $M^{-1}= \frac{1}{\text{det}(M)}{^t}(\text{com}(M))$ , valable pour tout $M\in GL_n(\Rr)$ , et la continuité du déterminant montre que l’application $M\mapsto M^{-1}$ est continue sur l’ouvert $GL_n(\Rr)$ . On en déduit que $\left\|(A+H)^{-1}\right\|$ tend vers $\left\|A^{-1}\right\|$ quand $H$ tend vers $0$ . Par suite,

$\lim_{H \rightarrow 0}\left\|(A+H)^{-1}\right\|\left\|A^{-1}\right\|^2\left\|H\right\|=0$ et donc $\lim_{H \rightarrow 0} \frac{1}{\|H\|}\left\|(A+H)^{-1}-A^{-1}+A^{-1}HA^{-1}\right\|=0$ .

Comme l’application $H\mapsto -A^{-1}HA^{-1}$ est linéaire, c’est la différentielle de $f$ en $A$ .

$\forall A\in GL_n(\Rr)$ , $\forall H\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $df_A(H)=-A^{-1}HA^{-1}$ .

exo7 5895