Il est évident que, en tout point tel que \(\left|x\right|<\left|y\right|\) ou \(\left|x\right|>\left|y\right|\), la fonction est continue et les dérivées partielles existent.

Soit \(x \ne 0\). Alors \(f\) n’est ni continue en \((x,x)\) ni en \((x,-x)\). Car \[\begin{align*} \mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix} (u,v) \to (x,x)\\ |u|>|v| \end{smallmatrix}}f(u,v) &= \mathrm{lim}_{u \to x}u = x \ne 0, \\ \mathrm{lim}_{(u,u) \to (x,x)} f(u,u) &=0, \\ \mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix} (u,v) \to (x,-x)\\ |u|>|v| \end{smallmatrix}}f(u,v) &= \mathrm{lim}_{u \to x}u = x \ne 0, \\ \mathrm{lim}_{(u,-u) \to (x,-x)} f(u,u) &=0. \end{align*}\] Par contre, \(f\) est continue en \((0,0)\). Car \[\mathrm{lim}_{(u,v) \to (0,0)}f(u,v)=0\] puisque \[\begin{array}{lll} f(u, v)=u &\mathrm{si}& \left|u\right|>\left|v\right|,\\ f(u, v)=v &\mathrm{ si }&\left|u\right|<\left|v\right|,\\ f(u, v)= 0 &\mathrm{ si }& \left|u\right| = \left|v\right|, \end{array}\] et puisque alors \(\mathrm{lim}_{u \to 0}u=0\) et \(\mathrm{lim}_{v \to 0}v=0\).

Soit \((x,y)\) un point où \(\left|x\right| = \left|y\right|\). Il reste à étudier les dérivées partielles en un tel point \((x,y)\). Soit \(x \ne 0\). Alors la fonction \(h\) de la variable \(t\) définie par \[h(t)=f(x+t,y)=\begin{cases} x+t,\quad & |x+t|>|y|\\ y,\quad & |x+t|<|y| \end{cases}\] n’est pas dérivable en \(t=0\) donc la dérivée partielle \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) n’existe pas. De même, la fonction \(k\) de la variable \(t\) définie par \[k(t)=f(x,y+t)=\begin{cases} x,\quad & |x|>|y+t|,\\ y+t,\quad & |x|<|y+t|, \end{cases}\] n’est pas dérivable en \(t=0\) donc la dérivée partielle \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) n’existe pas. Enfin soit \(x = 0\). Alors la fonction \(h\) de la variable \(t\) définie par \[h(t)=f(t,0)=t\] est dérivable en \(t=0\) donc la dérivée partielle \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) existe. De même, la fonction \(k\) de la variable \(t\) définie par \[k(t)=f(0,t)=t\] est dérivable en \(t=0\) donc la dérivée partielle \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) existe.

exo7 1803