Il est évident que, en tout point tel que $\left|x\right|<\left|y\right|$ ou $\left|x\right|>\left|y\right|$ , la fonction est continue et les dérivées partielles existent.

Soit $x \ne 0$ . Alors $f$ n’est ni continue en $(x,x)$ ni en $(x,-x)$ . Car $\begin{align*} \mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix} (u,v) \to (x,x)\\ |u|>|v| \end{smallmatrix}}f(u,v) &= \mathrm{lim}_{u \to x}u = x \ne 0, \\ \mathrm{lim}_{(u,u) \to (x,x)} f(u,u) &=0, \\ \mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix} (u,v) \to (x,-x)\\ |u|>|v| \end{smallmatrix}}f(u,v) &= \mathrm{lim}_{u \to x}u = x \ne 0, \\ \mathrm{lim}_{(u,-u) \to (x,-x)} f(u,u) &=0. \end{align*}$ Par contre, $f$ est continue en $(0,0)$ . Car $\mathrm{lim}_{(u,v) \to (0,0)}f(u,v)=0$ puisque $\begin{array}{lll} f(u, v)=u &\mathrm{si}& \left|u\right|>\left|v\right|,\\ f(u, v)=v &\mathrm{ si }&\left|u\right|<\left|v\right|,\\ f(u, v)= 0 &\mathrm{ si }& \left|u\right| = \left|v\right|, \end{array}$ et puisque alors $\mathrm{lim}_{u \to 0}u=0$ et $\mathrm{lim}_{v \to 0}v=0$ .

Soit $(x,y)$ un point où $\left|x\right| = \left|y\right|$ . Il reste à étudier les dérivées partielles en un tel point $(x,y)$ . Soit $x \ne 0$ . Alors la fonction $h$ de la variable $t$ définie par $h(t)=f(x+t,y)=\begin{cases} x+t,\quad & |x+t|>|y|\\ y,\quad & |x+t|<|y| \end{cases}$ n’est pas dérivable en $t=0$ donc la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ n’existe pas. De même, la fonction $k$ de la variable $t$ définie par $k(t)=f(x,y+t)=\begin{cases} x,\quad & |x|>|y+t|,\\ y+t,\quad & |x|<|y+t|, \end{cases}$ n’est pas dérivable en $t=0$ donc la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ n’existe pas. Enfin soit $x = 0$ . Alors la fonction $h$ de la variable $t$ définie par $h(t)=f(t,0)=t$ est dérivable en $t=0$ donc la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ existe. De même, la fonction $k$ de la variable $t$ définie par $k(t)=f(0,t)=t$ est dérivable en $t=0$ donc la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existe.

exo7 1803