Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^n\) et \(f : U \to \R\). On dit que \(f\) est convexe lorsque : \[\forall\ x,y\in U,\ \forall\ t\in{[0,1]},\ f(tx+(1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y).\] On dit que \(f\) est strictement convexe si l’inégalité précédente est stricte lorsque \(x\ne y\) et \(0<t<1\).
1
On suppose que \(f\) est convexe.
2
Soient \(x\in U\), \(h\in \R^n\) et \(t\in{[0,1]}\) tel que \(x-h\in U\) et \(x+h\in U\). Montrer : \[(1+t)f(x) - tf(x-h) \le f(x+th) \le (1-t)f(x) + tf(x+h).\]
3
Montrer que \(f\) est continue (raisonner sur le cas \(n=2\) puis généraliser).