L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 4174

Soit UU un ouvert convexe de Rn\R^n et f:U→Rf : U \to \R. On dit que ff est convexe lorsque : ∀ x,y∈U, ∀ t∈[0,1], f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).\forall\ x,y\in U,\ \forall\ t\in{[0,1]},\ f(tx+(1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y). On dit que ff est strictement convexe si l’inégalité précédente est stricte lorsque x≠yx\ne y et 0<t<10<t<1.

1

On suppose que ff est convexe.

2

Soient x∈Ux\in U, h∈Rnh\in \R^n et t∈[0,1]t\in{[0,1]} tel que x−h∈Ux-h\in U et x+h∈Ux+h\in U. Montrer : (1+t)f(x)−tf(x−h)≤f(x+th)≤(1−t)f(x)+tf(x+h).(1+t)f(x) - tf(x-h) \le f(x+th) \le (1-t)f(x) + tf(x+h).

3

Montrer que ff est continue (raisonner sur le cas n=2n=2 puis généraliser).

Exercice DL0B

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?