On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et \(h\) dont les expressions ne sont pas connues. Les domaines de définition de ces fonctions sont respectivement : \[D_f = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle|\ x + y \geq 0 \text{ et } x^2 \neq y \right\}\] \[D_g = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle|\ x \neq y \text{ et } x^2 + y^2 > 1 \right\}\] \[D_h = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle|\ x + y \neq 1 \right\}\]
Tracer ces domaines de définition. Pour chacun de ces domaines, déterminer s’il est ouvert, fermé ou ni l’un ni l’autre. Justifier brièvement.
On sait que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur son domaine de définition et que \(f(x^2,0)=\frac{1}{x^3}\) pour \(x>0\). À l’aide de la dérivée d’une composée, déduire \(\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)\).
On sait que \(\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(2,0)} g(x,y)=\ln\left(\frac{2}{3}\right)\) et que les dérivées partielles de \(g\) en \((2,0)\) existent. Peut-on en conclure que \(g(2,0)=\ln\left(\frac{2}{3}\right)\) ? Justifier votre réponse.
À laquelle des trois fonctions correspond le graphe suivant ? Justifier.
