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On considère trois fonctions de deux variables $f$ , $g$ et $h$ dont les expressions ne sont pas connues. Les domaines de définition de ces fonctions sont respectivement : $D_f = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle|\ x + y \geq 0 \text{ et } x^2 \neq y \right\}$ $D_g = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle|\ x \neq y \text{ et } x^2 + y^2 > 1 \right\}$ $D_h = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \middle|\ x + y \neq 1 \right\}$

Tracer ces domaines de définition. Pour chacun de ces domaines, déterminer s’il est ouvert, fermé ou ni l’un ni l’autre. Justifier brièvement.

On sait que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur son domaine de définition et que $f(x^2,0)=\frac{1}{x^3}$ pour $x>0$ . À l’aide de la dérivée d’une composée, déduire $\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)$ .

On sait que $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(2,0)} g(x,y)=\ln\left(\frac{2}{3}\right)$ et que les dérivées partielles de $g$ en $(2,0)$ existent. Peut-on en conclure que $g(2,0)=\ln\left(\frac{2}{3}\right)$ ? Justifier votre réponse.

À laquelle des trois fonctions correspond le graphe suivant ? Justifier.

Etude d'un fonction de deux variables

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