On pose \(BC=a\), \(CA=b\) et \(AB=c\) et on note \(\mathcal{A}\) l’aire du triangle \(ABC\). Soit \(M\) un point intérieur au triangle \(ABC\). On note \(I\), \(J\) et \(K\) les projetés orthogonaux de \(M\) sur les droites \((BC)\), \((CA)\) et \((AB)\) respectivement. On pose \(u=\text{aire de}\;MBC\), \(v=\text{aire de}\;MCA\) et \(w=\text{aire de}\;MAB\). On a

\(d(M,(BC))\times d(M,(CA))\times d(M,(AB))=MI\times MJ\times MK= \frac{2u}{a}\times \frac{2v}{b}\times \frac{2w}{c}= \frac{8}{abc}uv(\mathcal{A}-u-v)\).

Il s’agit alors de trouver le maximum de la fonction \(f~:~(u,v)\mapsto uv(\mathcal{A}-u-v)\) sur le domaine

\(T=\left\{(u,v)\in\Rr^2/\;u\geqslant0,\;v\geqslant0\;\text{et}\;u+v\leqslant\mathcal{A}\right\}\).

\(T\) est un compact de \(\Rr^2\). En effet :

- \(\forall(u,v)\in T^2\), \(\|(u,v)\|_1=u+v\leqslant\mathcal{A}\) et donc \(T\) est bornée.

- Les applications \(\varphi_1~:~(u,v)\mapsto u\), \(\varphi_2~:~(u,v)\mapsto v\) et \(\varphi_3~:~(u,v)\mapsto u+v\) sont continues sur \(\Rr^2\) en tant que formes

linéaires sur un espace de dimension finie. Donc les ensembles \(P_1=\{(u,v)\in\Rr^2/\;u\geqslant0\}=\varphi_1^{-1}([0,+\infty[)\),

\(P_2=\{(u,v)\in\Rr^2/\;v\geqslant0\}=\varphi_2^{-1}([0,+\infty[)\) et \(P_3=\{(u,v)\in\Rr^2/\;u+v\leqslant0\}=\varphi_3^{-1}(]-\infty,0])\) sont des fermés de \(\Rr^2\)

en tant qu’images réciproques de fermés par des applications continues. On en déduit que \(T=P_1\cap P_2\cap P_3\) est un

fermé de \(\Rr^2\) en tant qu’intersection de fermés de \(\Rr^2\).

Puisque \(T\) est un fermé borné de \(\Rr^2\), \(T\) est un compact de \(\Rr^2\) puisque \(\Rr^2\) est de dimension finie et d’après le théorème de Borel-Lebesgue.

\(f\) est continue sur le compact \(T\) à valeurs dans \(\Rr\) en tant que polynôme à plusieurs variables et donc \(f\) admet un maximum sur \(T\).

Pour tout \((u,v)\) appartenant à la frontière de \(T\), on a \(f(u,v)=0\). Comme \(f\) est strictement positive sur \(\overset{\circ}{T}=\{(u,v)\in\Rr^2/\;u>0,\;v>0\;\text{et}\;u+v<0\}\), \(f\) admet son maximum dans \(\overset{\circ}{T}\). Puisque \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\overset{\circ}{T}\) qui est un ouvert de \(\Rr^2\), si \(f\) admet un maximum en \((u_0,v_0)\in\overset{\circ}{T}\), \((u_0,v_0)\) est nécessairement un point critique de \(f\). Soit \((u,v)\in\overset{\circ}{T}\).

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial u}(u,v)=0\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial f}{\partial v}(u,v)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} v(\mathcal{A}-2u-v)=0\\ u(\mathcal{A}-u-2v)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2u+v=\mathcal{A}\\ u+2v=\mathcal{A} \end{array} \right.\Leftrightarrow u=v= \frac{\mathcal{A}}{3}\).

Puisque \(f\) admet un point critique et un seul à savoir \((u_0,v_0)=\left( \frac{\mathcal{A}}{3}, \frac{\mathcal{A}}{3}\right)\), \(f\) admet son maximum en ce point et ce maximum vaut \(f(u_0,v_0)= \frac{\mathcal{A}^3}{27}\). Le maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur au triangle \(ABC\) aux cotés de ce triangle est donc \(\frac{8\mathcal{A}^3}{27abc}\).

Remarque. On peut démontrer que pour tout point \(M\) intérieur au triangle \(ABC\), on a \(M=\text{bar}\left((A,\text{aire de}\;MBC),(B,\text{aire de}\;MAC),(C,\text{aire de}\;MAB)\right)\). Si maintenant \(M\) est le point en lequel on réalise le maximum, les trois aires sont égales et donc le maximum est atteint en \(G\) l’isobarycentre du triangle \(ABC\).

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