On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par \[f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y\] sur le domaine \[D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 2\}.\]
1
Justifier que \(f\) admet un minimum global et un maximum global sur \(D\).
2
Déterminer les points critiques éventuels de \(f\) à l’intérieur de \(D\).
3
Étudier \(f\) sur le bord défini par \(x=0\), avec \(0\le y\le 2\).
4
Étudier \(f\) sur le bord défini par \(y=0\), avec \(0\le x\le 2\).
5
Étudier \(f\) sur le bord défini par \(x+y=2\), avec \(x\in[0,2]\).
6
Conclure en déterminant le minimum global et le maximum global de \(f\) sur \(D\).