On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : \[\mathcal{K}=\left\{\left.(x,y)\in\R^2\right|\ x^2+y^2\leq1\ \text{et}\ x+y\geq0\right\}.\]
On définit également les ensembles : \[B_1=\left\{ (x,-x) \in \mathbb{R}^2 \,,\,\ x\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\right\} \text{ et } B_2=\left\{(\cos\theta,\sin\theta)\in \mathbb{R}^2 \,,\, \theta\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]\right\}.\]
Représenter graphiquement \(\mathcal{K}\). Le domaine \(\mathcal{K}\) est-il ouvert ? Est-il fermé ?
Justifier que \(B_1\) et \(B_2\) sont des sous-ensembles de \(\mathcal{K}\) et les représenter sur le graphique.
Justifier que la fonction \(f\) admet un maximum et un minimum global sur \(\mathcal{K}\).
La fonction \(f\) admet-elle des points critiques ?
Exprimer \(f(x,y)\) lorsque \((x,y) \in B_1\) en fonction d’une seule variable \(x\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(g: x\mapsto f(x,-x)\) sur \(\left[-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\).
On pose \(h(\theta)=f(\cos\theta,\sin\theta)\) pour tout \(\theta\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]\). Montrer que \(h'\) s’annule en \(\frac{\pi}{2}\) et en \(\frac{\pi}{6}\).
Dresser le tableau de variation de \(h\).
En utilisant les questions précédentes, déterminer le maximum et le minimum global de \(f\) sur \(\mathcal{K}\). En quels points ces extremums sont-ils atteints ?