L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 9 questions

Étude des extremums d'une fonction de deux variables

On considère la fonction ff définie par f(x,y)=x2+yf(x,y)=x^2+y sur l’ensemble : K={(x,y)∈R2∣ x2+y2≤1 et x+y≥0}.\mathcal{K}=\left\{\left.(x,y)\in\R^2\right|\ x^2+y^2\leq1\ \text{et}\ x+y\geq0\right\}.

On définit également les ensembles : B1={(x,−x)∈R2 ,  x∈[−22;22]} et B2={(cos⁡θ,sin⁡θ)∈R2 , θ∈[−π4;3π4]}.B_1=\left\{ (x,-x) \in \mathbb{R}^2 \,,\,\ x\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\right\} \text{ et } B_2=\left\{(\cos\theta,\sin\theta)\in \mathbb{R}^2 \,,\, \theta\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]\right\}.

1

Représenter graphiquement K\mathcal{K}. Le domaine K\mathcal{K} est-il ouvert ? Est-il fermé ?

2

Justifier que B1B_1 et B2B_2 sont des sous-ensembles de K\mathcal{K} et les représenter sur le graphique.

3

Justifier que la fonction ff admet un maximum et un minimum global sur K\mathcal{K}.

4

La fonction ff admet-elle des points critiques ?

5

Exprimer f(x,y)f(x,y) lorsque (x,y)∈B1(x,y) \in B_1 en fonction d’une seule variable xx.

6

Dresser le tableau de variation de la fonction g:x↦f(x,−x)g: x\mapsto f(x,-x) sur [−22;22]\left[-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right].

7

On pose h(θ)=f(cos⁡θ,sin⁡θ)h(\theta)=f(\cos\theta,\sin\theta) pour tout θ∈[−π4;3π4]\theta\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]. Montrer que h′h' s’annule en π2\frac{\pi}{2} et en π6\frac{\pi}{6}.

8

Dresser le tableau de variation de hh.

9

En utilisant les questions précédentes, déterminer le maximum et le minimum global de ff sur K\mathcal{K}. En quels points ces extremums sont-ils atteints ?

Exercice nQHm

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