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Montrer qu’il existe un unique $b>0$ tel que le point de coordonnées $(1/2,b)$ se trouve sur $\mathcal C$. Déterminer $b$, puis déterminer l’équation de la droite tangente à $\mathcal C$, passant par $(1/2,b)$.

Trouver l’unique fonction $\varphi:x\in ]-1,1[\to\varphi(x)\in\R^+$ telle que $(x,\varphi(x))\in\mathcal C$ pour tout $x\in]-1,1[$. Montrer que $\varphi(-x)=\varphi(x)$ et que $\varphi$ est décroissante sur $[0,1[$. Tracer $\mathcal C$.

Énoncer le théorème des fonctions implicites et montrer qu’il existe exactement deux points de la courbe $\mathcal C$ où le théorème des fonctions implicites ne s’applique pas pour écrire, au voisinage de chacun de ces deux points, $y$ comme fonction de $x$.