On considère la courbe \(\mathcal C\) d’équation \[y^2(x^2+1)+x^2(y^2+1)=1.\]
Montrer qu’il existe un unique \(b>0\) tel que le point de coordonnées \((1/2,b)\) se trouve sur \(\mathcal C\). Déterminer \(b\), puis déterminer l’équation de la droite tangente à \(\mathcal C\), passant par \((1/2,b)\).
Trouver l’unique fonction \(\varphi:x\in ]-1,1[\to\varphi(x)\in\R^+\) telle que \((x,\varphi(x))\in\mathcal C\) pour tout \(x\in]-1,1[\). Montrer que \(\varphi(-x)=\varphi(x)\) et que \(\varphi\) est décroissante sur \([0,1[\). Tracer \(\mathcal C\).
Énoncer le théorème des fonctions implicites et montrer qu’il existe exactement deux points de la courbe \(\mathcal C\) où le théorème des fonctions implicites ne s’applique pas pour écrire, au voisinage de chacun de ces deux points, \(y\) comme fonction de \(x\).