Étude d'une fonction de deux variables

Donner l’ensemble de définition de $f$.

Déterminer la courbe de niveau $k=0$ de la fonction $f$.

Déterminer la courbe de niveau $k=1$ de la fonction $f$.

Calculer $\lim\limits_{h \to 0} f(h,0)$ et $\lim\limits_{h \to 0} f(2h,h)$.

La fonction $f$ est-elle continue en $(0,0)$ ? Justifier.

Calculer $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ pour tout $(x,y) \neq (0,0)$.

Calculer $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$. Les dérivées partielles de $f$ sont-elles continues en $(0,0)$ ?