Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \[f(x,y) = \begin{cases} \frac{x-2y}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ sinon. } \end{cases}\]
Donner l’ensemble de définition de \(f\).
Déterminer la courbe de niveau \(k=0\) de la fonction \(f\).
Déterminer la courbe de niveau \(k=1\) de la fonction \(f\).
Calculer \(\lim\limits_{h \to 0} f(h,0)\) et \(\lim\limits_{h \to 0} f(2h,h)\).
La fonction \(f\) est-elle continue en \((0,0)\) ? Justifier.
Calculer \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) pour tout \((x,y) \neq (0,0)\).
Calculer \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\). Les dérivées partielles de \(f\) sont-elles continues en \((0,0)\) ?