Soit la fonction \(g \colon \R^2 \to \R\) définie par : \[g(x,y) = \frac{x^2+ 3y^3}{|x| + |y|}\,.\]
1
Déterminer l’ensemble de définition de \(g\).
2
Démontrer que \(\lim\limits_{h \to 0} g(h, 0) = \lim\limits_{h \to 0} g(0, h) =\lim\limits_{h \to 0} g(h, h)\).
3
On admet que pour tout \(\theta \in \R\), \(|\cos(\theta)| + |\sin(\theta)| \geq 1\).
Déterminer une fonction \(m\) ne dépendant pas de \(\theta\) telle que pour tout \(r > 0\) et \(\theta \in \R\), on ait :
\[\frac{1}{r|\cos(\theta)| + r|\sin(\theta)|} \leq m(r)\]
4
Déterminer : \[\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} g(x,y).\]