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On suppose que $\Delta u>0$. Montrer que $\max\limits_{(x,y)\in \overline{\Omega}}u(x,y)= \max\limits_{(x,y)\in \overline{\Omega}\setminus \Omega}u(x,y)$.

Même question en supposant seulement $\Delta u \ge 0$.

Soit $0<r_1<r_2$, $A=\{(x,y)\in \R^2 \,|\, r_1^2<x^2+y^2<r_2^2\}$. On suppose que $u$ est continue sur $\overline{A}$, $\mathcal{C}^2$ sur $A$ et que $\Delta u \ge 0$ sur $A$. On pose pose $M(r)=\max\limits_{x^2+y^2=r^2} (u(x,y))$.

Montrer que, pour tout $r_1\le r\le r_2$, $M(r)\le \frac{M(r_1)\ln(r_2/r)+M(r_2)\ln (r/r_1)}{\ln (r_2/r_1)}\cdotp$

Indication : la fonction $v$ : $(x,y) \mapsto\ln(x^2+y^2)$ vérifie $\Delta v = 0$.