Soit \(\Omega\) un ouvert borné de \(\R^2\) et \({u} : {\overline{\Omega}} \to {\R}\) continue sur \(\overline{\Omega}\) et \(\mathcal{C}^2\) sur \(\Omega\).
On suppose que \(\Delta u>0\). Montrer que \(\max\limits_{(x,y)\in \overline{\Omega}}u(x,y)= \max\limits_{(x,y)\in \overline{\Omega}\setminus \Omega}u(x,y)\).
Même question en supposant seulement \(\Delta u \ge 0\).
Soit \(0<r_1<r_2\), \(A=\{(x,y)\in \R^2 \,|\, r_1^2<x^2+y^2<r_2^2\}\). On suppose que \(u\) est continue sur \(\overline{A}\), \(\mathcal{C}^2\) sur \(A\) et que \(\Delta u \ge 0\) sur \(A\). On pose pose \(M(r)=\max\limits_{x^2+y^2=r^2} (u(x,y))\).
Montrer que, pour tout \(r_1\le r\le r_2\), \(M(r)\le \frac{M(r_1)\ln(r_2/r)+M(r_2)\ln (r/r_1)}{\ln (r_2/r_1)}\cdotp\)
Indication : la fonction \(v\) : \((x,y) \mapsto\ln(x^2+y^2)\) vérifie \(\Delta v = 0\).