On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on note \(\left(x_{i}, y_{i}\right)\) les coordonnées de chaque point \(M_{i}\).
On cherche les points \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^{2}\) approchant au mieux le nuage de points formé par les points \(M_{i}\) au sens des moindres carrés, c’est-à-dire qu’on cherche à minimiser la fonction \[f:(x, y) \mapsto \sum_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}\] On admet que \(f\) admet au moins un minimum global sur \(\mathbb{R}^{2}\). Déterminer en quels points \(f\) admet ce minimum.
On cherche maintenant une relation affine entre les abscisses et les ordonnées de ces points. On cherche des constantes \(m\) et \(q\) pour que la droite d’équation \(y=mx+q\) s’ajuste le mieux possible aux points observés.
Pour cela, on introduit \(d_i = y_i - (mx_i + q)\) l’écart vertical du point \(M_i\) par rapport à la droite.
La méthode des moindres carrés consiste à choisir \(m\) et \(q\) de telle sorte que la somme des écarts au carré soit minimale.
Exprimer \(m\) et \(q\) en fonction des coordonnées des points.