Méthode des moindres carrés

On cherche les points $(x, y)$ de $\mathbb{R}^{2}$ approchant au mieux le nuage de points formé par les points $M_{i}$ au sens des moindres carrés, c’est-à-dire qu’on cherche à minimiser la fonction $$f:(x, y) \mapsto \sum_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{2}+\left(y-y_{i}\right)^{2}$$ On admet que $f$ admet au moins un minimum global sur $\mathbb{R}^{2}$. Déterminer en quels points $f$ admet ce minimum.

On cherche maintenant une relation affine entre les abscisses et les ordonnées de ces points. On cherche des constantes $m$ et $q$ pour que la droite d’équation $y=mx+q$ s’ajuste le mieux possible aux points observés.

Pour cela, on introduit $d_i = y_i - (mx_i + q)$ l’écart vertical du point $M_i$ par rapport à la droite.

La méthode des moindres carrés consiste à choisir $m$ et $q$ de telle sorte que la somme des écarts au carré soit minimale.

Exprimer $m$ et $q$ en fonction des coordonnées des points.