L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 1 question

exo7 5893

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Soit ff une application de Rn\Rr^n dans R\Rr de classe C1C^1. On dit que ff est positivement homogène de degré rr (rr réel donné) si et seulement si ∀λ∈]0,+∞[\forall\lambda\in]0,+\infty[, ∀x∈Rn\forall x\in\Rr^n, f(λx)=λrf(x)f(\lambda x) =\lambda^rf(x).

Montrer pour une telle fonction l’identité d’Euler :

∀x=(x1,...,xn)∈Rn\forall x = (x_1,...,x_n)\in \Rr^n ∑i=1nxi∂f∂xi(x)=rf(x)\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) = rf(x).

Exercice oMoe

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