1ère solution. Pour $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Rr^n$ , $f(x)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$ . $f$ est de classe $E =\Rr^n$ sur $\Rr^n\setminus\{0\}$ en vertu de théorèmes généraux et pour tout $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Rr^n\setminus\{0\}$ et tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)= \frac{x_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}}= \frac{x_i}{\|x\|_2}$ .

On en déduit que $f$ est différentiable sur $\Rr^n\setminus\{0\}$ et pour $x\in\Rr^n\setminus\{0\}$ et $h\in\Rr^n$

$df_x(h)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i= \frac{1}{\|x\|_2}\sum_{i=1}^{n}x_ih_i= \frac{x|h}{\|x\|_2}$ .

$\forall x\in\Rr^n\setminus\{0\}$ , $\forall h\in\Rr^n$ , $df_x(h)= \frac{x|h}{\|x\|_2}$ .

2 ème solution. Soit $x\in\Rr^n\setminus\{0\}$ . Pour $h\in\Rr^n$ ,

$\|x+h\|_2-\|x\|_2= \frac{\left(\|x+h\|_2-\|x\|_2\right)\left(\|x+h\|_2+\|x\|_2\right)}{\|x+h\|_2+\|x\|_2}= \frac{2(x|h)+\|h\|_2^2}{\|x+h\|_2+\|x\|_2}$ ,

puis

$\|x+h\|_2-\|x\|_2- \frac{x|h}{\|x\|_2}= \frac{2(x|h)+\|h\|_2^2}{\|x+h\|_2+\|x\|_2}- \frac{x|h}{\|x\|_2}= \frac{-\left(\|x+h\|_2-\|x\|_2\right)(x|h)+\|x\|_2\|h\|_2^2}{\left(\|x+h\|_2+\|x\|_2\right)\|x\|_2}$ .

Maintenant, on sait que l’application $x\mapsto\|x\|_2$ est continue sur $\Rr^n$ . On en déduit que $\frac{1}{\left(\|x+h\|_2+\|x\|_2\right)\|x\|_2}\underset{h\rightarrow0}{\sim} \frac{1}{2\|x\|_2^2}$ et aussi que $\|x+h\|_2-\|x\|_2$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ . Ensuite, puisque $\left|(x|h)\right|\leqslant\|x\|_2\|h\|_2$ (inégalité de Cauchy-Schwarz), on a $x|h\underset{h\rightarrow0}{=}O(\|h\|_2)$ puis $\left(\|x+h\|_2-\|x\|_2\right)\left(x|h\right)\underset{h\rightarrow0}{=}o(\|h\|_2)$ .

Finalement, $\frac{-\left(\|x+h\|_2-\|x\|_2\right)(x|h)+\|x\|_2\|h\|_2^2}{\left(\|x+h\|_2+\|x\|_2\right)\|x\|_2}\underset{h\rightarrow0}{=}o(\|h\|_2)$ et donc

$\|x+h\|_2\underset{h\rightarrow0}{=}\|x\|_2+ \frac{x|h}{\|x\|_2}+o(\|h\|_2)$ .

Puisque l’application $h\mapsto \frac{x|h}{\|x\|_2}$ est linéaire, on a redémontré que $f$ est différentiable en tout $x$ de $\Rr^n\setminus\{0\}$ et que $\forall x\in\Rr^n\setminus\{0\}$ , $\forall h\in\Rr^n$ , $df_x(h)= \frac{x|h}{\|x\|_2}$ .

Soit $L$ une application linéaire de $\Rr^n$ dans $\Rr$ c’est-à-dire une forme linéaire.

$\frac{1}{\|h\|_2}\left(\|0+h\|_2-\|0\|_2-L(h)\right)=1-L\left( \frac{h}{\|h\|_2}\right)$ .

Supposons que cette expression tende vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ . Pour $u$ vecteur non nul donné et $t$ réel non nul, l’expression $1-L\left( \frac{tu}{\|tu\|_2}\right)=1- \frac{t}{|t|}L\left( \frac{u}{\|u\|_2}\right)$ tend donc vers $0$ quand $t$ tend vers $0$ . Mais si $t$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, on obtient $L(u)=\|u\|_2$ et si $t$ tend vers $0$ par valeurs inférieures, on obtient $L(u)=-\|u\|_2$ ce qui est impossible car $u\neq0$ . Donc $f$ n’est pas différentiable en $0$ .

exo7 5901