On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
1
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) et vérifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur son ensemble de définition.
2
On pose \(h(t) = t-\ln(t)-\frac{1}{t}\) : déterminer l’ensemble de définition de \(h\) et étudier ses variations.
3
Démontrer que \(\mathrm{grad}_f(x,y)=(0,0) \iff \begin{cases} h\left(\frac{x}{y}\right) = 0\\ \frac{x}{y} - \ln(x) =0 \end{cases}\)
4
En déduire l’ensemble des points stationnaires de \(f\).
5
Déterminer l’ensemble des points extrémaux (locaux et globaux) de \(f\).