Etude d'extrema

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ et vérifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur son ensemble de définition.

On pose $h(t) = t-\ln(t)-\frac{1}{t}$ : déterminer l’ensemble de définition de $h$ et étudier ses variations.

Démontrer que $\mathrm{grad}_f(x,y)=(0,0) \iff \begin{cases} h\left(\frac{x}{y}\right) = 0\\ \frac{x}{y} - \ln(x) =0 \end{cases}$

En déduire l’ensemble des points stationnaires de $f$.

Déterminer l’ensemble des points extrémaux (locaux et globaux) de $f$.