Puisque $\left|\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}}\right|$ reste borné, $\mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}xy\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}xy =0$ d’où $f$ est continue en $(0,0)$ . De même, $\begin{align*} \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)}x&= \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}y\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}y =0 \\ \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)}y&= \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}x\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \mathrm{lim}_{(x,y)\to (0,0)}x =0 \end{align*}$ d’où les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existent, et $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$ . En plus, en dehors de l’origine, $\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}&= \frac{f(x,y)}x + xy \frac{\partial}{\partial x} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{f(x,y)}x + 4\frac{x^{2}y^{3}}{(x^{2} + y^{2})^2} \\ \frac{\partial f}{\partial y}&= \frac{f(x,y)}y + xy \frac{\partial}{\partial y} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{f(x,y)}x + 4\frac{x^{3}y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^2} . \end{align*}$ Puisque $\mathrm{lim}_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{(x^{2} + y^{2})^2}=0,\ \mathrm{lim}_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^{3}y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^2}=0,$ il s’ensuit que $\mathrm{lim}_{(u,v) \to (0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(u,v) =0,\ \mathrm{lim}_{(u,v) \to (0,0)}\frac{\partial f}{\partial y}(u,v) =0,$ d’où les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont continues en $(0,0)$ .

exo7 1800