Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par \[f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy\] où \(\mathcal{D} = \{ (x,y) \in \R^2 \, , \max(|x|,|y|) \leq 2\}\).
1
Parmi les trois domaines représentés graphiquement ci-dessus, lequel est susceptible de représenter \(\mathcal{D}\) ?
2
L’ensemble \(\mathcal{D}\) est-il ouvert dans \(\R^2\) ? fermé dans \(\R^2\) ? Justifier très brièvement.
3
Vérifier que \((0,0)\) et \((1,1)\) sont les deux seuls points critiques de \(f\) dans l’intérieur du domaine \(\mathcal{D}\).
4
La fonction \(f\) admet-elle un extremum local sur l’intérieur de \(\mathcal{D}\) ?
5
Justifier que \(f\) admet un maximum global sur \(\mathcal{D}\) et le calculer.