L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 5 questions

Etude d'une fonction

Soit la fonction ff définie sur D⊂R2\mathcal{D} \subset \R^2 par f(x,y)=x3+y3−3xyf(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy où D={(x,y)∈R2 ,max⁡(∣x∣,∣y∣)≤2}\mathcal{D} = \{ (x,y) \in \R^2 \, , \max(|x|,|y|) \leq 2\}.

1

Parmi les trois domaines représentés graphiquement ci-dessus, lequel est susceptible de représenter D\mathcal{D} ?

2

L’ensemble D\mathcal{D} est-il ouvert dans R2\R^2 ? fermé dans R2\R^2 ? Justifier très brièvement.

3

Vérifier que (0,0)(0,0) et (1,1)(1,1) sont les deux seuls points critiques de ff dans l’intérieur du domaine D\mathcal{D}.

4

La fonction ff admet-elle un extremum local sur l’intérieur de D\mathcal{D} ?

5

Justifier que ff admet un maximum global sur D\mathcal{D} et le calculer.

Exercice 88TT

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