Soit \(f\colon \R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \[\begin{aligned} f(x,y)&=&\frac{x^2y +3y^3}{x^2+y^2} \ \mathrm{ pour }\ (x,y)\not=(0,0),\\ f(0,0)&=& 0.\end{aligned}\]
La fonction \(f\) est-elle continue en \((0,0)\)? Justifier la réponse.
La fonction \(f\) admet-elle des dérivées partielles par rapport à \(x\), à \(y\) en \((0,0)\)? Donner la ou les valeurs le cas échéant et justifier la réponse.
La fonction \(f\) est-elle différentiable en \((0,0)\)? Justifier la réponse.
Déterminer les dérivées partielles de \(f\) en un point \((x_0,y_0)\not=(0,0)\).
Déterminer l’équation du plan tangent au graphe de \(f\) au point \((1,1,2)\).
Soit \(F:\R^2\rightarrow \R^2\) la fonction définie par \(F(x,y)=(f(x,y),f(y,x))\). Déterminer la matrice jacobienne de \(F\) au point \((1,1)\). La fonction \(F\) admet-elle une réciproque locale au voisinage du point \((2,2)\)?