L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 6 questions

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Soit f ⁣:R2→Rf\colon \R^2\rightarrow \R la fonction définie par f(x,y)=x2y+3y3x2+y2 pour (x,y)≠(0,0),f(0,0)=0.\begin{aligned} f(x,y)&=&\frac{x^2y +3y^3}{x^2+y^2} \ \mathrm{ pour }\ (x,y)\not=(0,0),\\ f(0,0)&=& 0. \end{aligned}

1

La fonction ff est-elle continue en (0,0)(0,0)? Justifier la réponse.

2

La fonction ff admet-elle des dérivées partielles par rapport à xx, à yy en (0,0)(0,0)? Donner la ou les valeurs le cas échéant et justifier la réponse.

3

La fonction ff est-elle différentiable en (0,0)(0,0)? Justifier la réponse.

4

Déterminer les dérivées partielles de ff en un point (x0,y0)≠(0,0)(x_0,y_0)\not=(0,0).

5

Déterminer l’équation du plan tangent au graphe de ff au point (1,1,2)(1,1,2).

6

Soit F:R2→R2F:\R^2\rightarrow \R^2 la fonction définie par F(x,y)=(f(x,y),f(y,x))F(x,y)=(f(x,y),f(y,x)). Déterminer la matrice jacobienne de FF au point (1,1)(1,1). La fonction FF admet-elle une réciproque locale au voisinage du point (2,2)(2,2)?

Exercice OCRX

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