\(f\) est définie sur \(\Rr^2\).

\(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr^2\setminus\{(0,0)\}\) en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(\Rr^2\setminus\{(0,0)\}\).

Continuité en \((0,0)\). Pour \((x,y)\neq(0,0)\),

\(|f(x,y)-f(0,0)|= \frac{|xy||x^2-y^2|}{x^2+y^2}\leqslant|xy|\times \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=|xy|\).

Comme \(|xy|\) tend vers \(0\) quand le couple \((x,y)\) tend vers le couple \((0,0)\), on a donc \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,0)\\(x,y)\neq(0,0)}}f(x,y)=f(0,0)\). On en déduit que \(f\) est continue en \((0,0)\) et finalement \(f\) est continue sur \(\Rr^2\).

\(f\) est de classe \(C^0\) au moins sur \(\Rr^2\).

Dérivées partielles d’ordre \(1\) sur \(\Rr^2\setminus\{(0,0)\}\). \(f\) est de classe \(C^1\) au moins sur \(\Rr^2\setminus\{(0,0)\}\) et pour \((x,y)\neq(0,0)\),

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y \frac{(3x^2-y^2)(x^2+y^2)-(x^3-xy^2)(2x)}{(x^2+y^2)^2}= \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\),

D’autre part, pour \((x,y)\neq(0,0)\) \(f(x,y)=-f(y,x)\). Donc pour \((x,y)\neq(0,0)\),

\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=- \frac{\partial f}{\partial x}(y,x)= \frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\).

Existence de \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\). Pour \(x\neq0\),

\(\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}= \frac{0-0}{x}=0\),

et donc \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0\). Ainsi, \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) existe et \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0\). De même, \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0\). Ainsi, \(f\) admet des dérivées partielles premières sur \(\Rr^2\) définies par

\(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0)\\ 0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{array} \right.\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0)\\ 0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{array} \right.\).

Continuité de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) en \((0,0)\). Pour \((x,y)\neq(0,0)\),

\(\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|= \frac{|y||x^4+4x^2y^2-y^4|}{(x^2+y^2)^2}\leqslant|y| \frac{x^4+4x^2y^2+y^4}{(x^2+y^2)^2}\leqslant|y| \frac{2x^4+4x^2y^2+2y^4}{(x^2+y^2)^2}=2|y|\).

Comme \(2|y|\) tend vers \(0\) quand \((x,y)\) tend vers \((0,0)\), on en déduit que \(\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|\) tend vers \(0\) quand \((x,y)\) tend vers \((0,0)\). Donc la fonction \(\frac{\partial f}{\partial x}\) est continue en \((0,0)\) et finalement sur \(\Rr^2\). Il en est de même de la fonction \(\frac{\partial f}{\partial y}\) et on a montré que

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