$f$ est définie sur $\Rr^2$ .

$f$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ .

Continuité en $(0,0)$ . Pour $(x,y)\neq(0,0)$ ,

$|f(x,y)-f(0,0)|= \frac{|xy||x^2-y^2|}{x^2+y^2}\leqslant|xy|\times \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=|xy|$ .

Comme $|xy|$ tend vers $0$ quand le couple $(x,y)$ tend vers le couple $(0,0)$ , on a donc $\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,0)\\(x,y)\neq(0,0)}}f(x,y)=f(0,0)$ . On en déduit que $f$ est continue en $(0,0)$ et finalement $f$ est continue sur $\Rr^2$ .

$f$ est de classe $C^0$ au moins sur $\Rr^2$ .

Dérivées partielles d’ordre $1$ sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ . $f$ est de classe $C^1$ au moins sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ et pour $(x,y)\neq(0,0)$ ,

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y \frac{(3x^2-y^2)(x^2+y^2)-(x^3-xy^2)(2x)}{(x^2+y^2)^2}= \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$ ,

D’autre part, pour $(x,y)\neq(0,0)$ $f(x,y)=-f(y,x)$ . Donc pour $(x,y)\neq(0,0)$ ,

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=- \frac{\partial f}{\partial x}(y,x)= \frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$ .

Existence de $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ . Pour $x\neq0$ ,

$\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}= \frac{0-0}{x}=0$ ,

et donc $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0$ . Ainsi, $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ existe et $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ . De même, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$ . Ainsi, $f$ admet des dérivées partielles premières sur $\Rr^2$ définies par

$\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0)\\ 0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{array} \right.$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0)\\ 0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{array} \right.$ .

Continuité de $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ en $(0,0)$ . Pour $(x,y)\neq(0,0)$ ,

$\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|= \frac{|y||x^4+4x^2y^2-y^4|}{(x^2+y^2)^2}\leqslant|y| \frac{x^4+4x^2y^2+y^4}{(x^2+y^2)^2}\leqslant|y| \frac{2x^4+4x^2y^2+2y^4}{(x^2+y^2)^2}=2|y|$ .

Comme $2|y|$ tend vers $0$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ , on en déduit que $\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)- \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|$ tend vers $0$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ . Donc la fonction $\frac{\partial f}{\partial x}$ est continue en $(0,0)$ et finalement sur $\Rr^2$ . Il en est de même de la fonction $\frac{\partial f}{\partial y}$ et on a montré que

$f$ est au moins de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ .

exo7 5888