Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f : E \to E\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
1
Montrer que \(f\) est une application affine si et seulement si sa différentielle est constante (c’est-à-dire \(d f_x = d f_y\) pour tous \(x,y\), égalité dans \(\mathcal{L}(E)\)).
2
Soit \(X\) un ensemble non vide quelconque et \(\varphi : {X^3}\to \R\) une application vérifiant : \[\forall\ x,y,z\in X,\ \varphi(x,y,z) = \varphi(y,x,z) = -\varphi(z,y,x).\] Montrer que \(\varphi=0\) (lemme des tresses).
3
On suppose \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que \(f\) est une isométrie de \(E\) pour la distance euclidienne si et seulement si, pour tout \(x\in E\), \(d f_x\) est une application orthogonale.