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Montrer que $f$ est une application affine si et seulement si sa différentielle est constante (c’est-à-dire $d f_x = d f_y$ pour tous $x,y$, égalité dans $\mathcal{L}(E)$).

Soit $X$ un ensemble non vide quelconque et $\varphi : {X^3}\to \R$ une application vérifiant : $$\forall\ x,y,z\in X,\ \varphi(x,y,z) = \varphi(y,x,z) = -\varphi(z,y,x).$$ Montrer que $\varphi=0$ (lemme des tresses).

On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer que $f$ est une isométrie de $E$ pour la distance euclidienne si et seulement si, pour tout $x\in E$, $d f_x$ est une application orthogonale.