Soit $x\in\Rr$ . La fonction $f_x:y\mapsto e^{x+y}+y-1$ est continue et strictement croissante sur $\Rr$ en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur $\Rr$ . Donc la fonction $f_x$ réalise une bijection de $\Rr$ sur $]\lim_{y \rightarrow -\infty}f_x(y),\lim_{y \rightarrow +\infty}f_x(y)[=\Rr$ . En particulier, l’équation $f_x(y)=0$ a une et une seule solution dans $\Rr$ que l’on note $\varphi(x)$ .

La fonction $f:(x,y)\mapsto e^{x+y}+y-1$ est de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ qui est un ouvert de $\Rr^2$ et de plus, $\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x+y}+1\neq0$ . D’après le théorème des fonctions implicites, la fonction $\varphi$ implicitement définie par l’égalité $f(x,y)=0$ est dérivable en tout réel $x$ et de plus, en dérivant l’égalité $\forall x\in\Rr$ , $e^{x+\varphi(x)}+\varphi(x)-1=0$ , on obtient $\forall x\in\Rr$ , $(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}+\varphi'(x)=0$ ou encore

$\forall x\in\Rr$ , $\varphi'(x)=- \frac{e^{x+\varphi(x)}}{e^{x+\varphi(x)}+1}$ $(*)$ .

On en déduit par récurrence que $\varphi$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ et en particulier admet en $0$ un développement limité d’ordre $3$ . Déterminons ce développement limité.

1ère solution. Puisque $e^{0+0}+0-1=0$ , on a $\varphi(0)=0$ . L’égalité $(*)$ fournit alors $\varphi'(0)=- \frac{1}{2}$ et on peut poser $\varphi(x)\underset{x\rightarrow0}{=}- \frac{1}{2}x+ax^2+bx^3+o(x^3)$ . On obtient

$\begin{align*}\ensuremath e^{x+\varphi(x)}&\underset{x\rightarrow0}{=}e^{\frac{x}{2}+ax^2+bx^3+o(x^3)}\\ &\underset{x\rightarrow0}{=}1+\left( \frac{x}{2}+ax^2+bx^3\right)+ \frac{1}{2}\left( \frac{x}{2}+ax^2\right)^2+ \frac{1}{6}\left( \frac{x}{2}\right)^3+o(x^3)\\ &\underset{x\rightarrow0}{=}1+ \frac{x}{2}+\left(a+ \frac{1}{8}\right)x^2+\left(b+ \frac{a}{2}+ \frac{1}{48}\right)x^3+o(x^3). \end{align*}$

L’égalité $e^{x+\varphi(x)}+\varphi(x)-1=0$ fournit alors $a+ \frac{1}{8}+a=0$ et $b+ \frac{a}{2}+ \frac{1}{48}+b=0$ ou encore $a=- \frac{1}{16}$ et $b= \frac{1}{192}$ .

2ème solution. On a déjà $\varphi(0)=0$ et $\varphi'(0)=0$ . En dérivant l’égalité $(*)$ , on obtient

$\varphi''(x)=- \frac{(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}(e^{x+\varphi(x)}+1)-(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}(e^{x+\varphi(x)})}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}=- \frac{(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}$ ,

et donc $\frac{\varphi''(0)}{2}=- \frac{ \frac{1}{2}}{2\times2^2}=- \frac{1}{16}$ . De même,

$\varphi^{(3)}(x)=-\varphi''(x) \frac{e^{x+\varphi(x)}}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}-(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)} \frac{(1+\varphi'(x))}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}+(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)} \frac{2(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^3}$ ,

et donc $\frac{\varphi^{(3)}(0)}{6}= \frac{1}{6}\left( \frac{1}{8}\times \frac{1}{4}- \frac{1}{2}\times \frac{1/2}{4}+ \frac{1}{2}\times \frac{1}{8}\right)= \frac{1}{192}$ . La formule de Taylor-Young refournit alors

$\varphi(x)\underset{x\rightarrow0}{=}- \frac{x}{2}- \frac{x^2}{16}+ \frac{x^3}{384}+o(x^3)$ .

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