Soit \(x\in\Rr\). La fonction \(f_x:y\mapsto e^{x+y}+y-1\) est continue et strictement croissante sur \(\Rr\) en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur \(\Rr\). Donc la fonction \(f_x\) réalise une bijection de \(\Rr\) sur \(]\lim_{y \rightarrow -\infty}f_x(y),\lim_{y \rightarrow +\infty}f_x(y)[=\Rr\). En particulier, l’équation \(f_x(y)=0\) a une et une seule solution dans \(\Rr\) que l’on note \(\varphi(x)\).

La fonction \(f:(x,y)\mapsto e^{x+y}+y-1\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) qui est un ouvert de \(\Rr^2\) et de plus, \(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x+y}+1\neq0\). D’après le théorème des fonctions implicites, la fonction \(\varphi\) implicitement définie par l’égalité \(f(x,y)=0\) est dérivable en tout réel \(x\) et de plus, en dérivant l’égalité \(\forall x\in\Rr\), \(e^{x+\varphi(x)}+\varphi(x)-1=0\), on obtient \(\forall x\in\Rr\), \((1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}+\varphi'(x)=0\) ou encore

\(\forall x\in\Rr\), \(\varphi'(x)=- \frac{e^{x+\varphi(x)}}{e^{x+\varphi(x)}+1}\) \((*)\).

On en déduit par récurrence que \(\varphi\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr\) et en particulier admet en \(0\) un développement limité d’ordre \(3\). Déterminons ce développement limité.

1ère solution. Puisque \(e^{0+0}+0-1=0\), on a \(\varphi(0)=0\). L’égalité \((*)\) fournit alors \(\varphi'(0)=- \frac{1}{2}\) et on peut poser \(\varphi(x)\underset{x\rightarrow0}{=}- \frac{1}{2}x+ax^2+bx^3+o(x^3)\). On obtient

\[\begin{align*}\ensuremath e^{x+\varphi(x)}&\underset{x\rightarrow0}{=}e^{\frac{x}{2}+ax^2+bx^3+o(x^3)}\\ &\underset{x\rightarrow0}{=}1+\left( \frac{x}{2}+ax^2+bx^3\right)+ \frac{1}{2}\left( \frac{x}{2}+ax^2\right)^2+ \frac{1}{6}\left( \frac{x}{2}\right)^3+o(x^3)\\ &\underset{x\rightarrow0}{=}1+ \frac{x}{2}+\left(a+ \frac{1}{8}\right)x^2+\left(b+ \frac{a}{2}+ \frac{1}{48}\right)x^3+o(x^3). \end{align*}\]

L’égalité \(e^{x+\varphi(x)}+\varphi(x)-1=0\) fournit alors \(a+ \frac{1}{8}+a=0\) et \(b+ \frac{a}{2}+ \frac{1}{48}+b=0\) ou encore \(a=- \frac{1}{16}\) et \(b= \frac{1}{192}\).

2ème solution. On a déjà \(\varphi(0)=0\) et \(\varphi'(0)=0\). En dérivant l’égalité \((*)\), on obtient

\(\varphi''(x)=- \frac{(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}(e^{x+\varphi(x)}+1)-(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}(e^{x+\varphi(x)})}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}=- \frac{(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}\),

et donc \(\frac{\varphi''(0)}{2}=- \frac{ \frac{1}{2}}{2\times2^2}=- \frac{1}{16}\). De même,

\(\varphi^{(3)}(x)=-\varphi''(x) \frac{e^{x+\varphi(x)}}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}-(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)} \frac{(1+\varphi'(x))}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^2}+(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)} \frac{2(1+\varphi'(x))e^{x+\varphi(x)}}{\left(e^{x+\varphi(x)}+1\right)^3}\),

et donc \(\frac{\varphi^{(3)}(0)}{6}= \frac{1}{6}\left( \frac{1}{8}\times \frac{1}{4}- \frac{1}{2}\times \frac{1/2}{4}+ \frac{1}{2}\times \frac{1}{8}\right)= \frac{1}{192}\). La formule de Taylor-Young refournit alors

exo7 5892