1
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction \(\pi\)-périodique de classe \(\mathcal{C}^2\). On pose pour \((x,y) \in \R^2\) : \(g(x,y) = r^2f(\theta)\) avec \((x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\). Calculer \(\frac{\partial g}{\partial x}(0,y)\) et \(\frac{\partial g}{\partial y}(x,0)\) en fonction de \(f\). En déduire les valeurs de \(\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0,0)\) et \(\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0,0)\). Construire un exemple précis (donner \(g(x,y)\) en fonction de \(x\) et \(y\)) pour lequel ces deux dérivées sont distinctes.