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Soit $f:\R \to \R$ une fonction $\pi$-périodique de classe $\mathcal{C}^2$. On pose pour $(x,y) \in \R^2$ : $g(x,y) = r^2f(\theta)$ avec $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Calculer $\frac{\partial g}{\partial x}(0,y)$ et $\frac{\partial g}{\partial y}(x,0)$ en fonction de $f$. En déduire les valeurs de $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0,0)$. Construire un exemple précis (donner $g(x,y)$ en fonction de $x$ et $y$) pour lequel ces deux dérivées sont distinctes.