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Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe \(C^2\) et soient \(r\) et \(\theta\) les coordonnées polaires standard dans le plan de telle sorte que l’association \[]0,+\infty[\times ]0,2\pi[\longrightarrow \R^2\setminus\{(0,0)\}, \quad (r,\theta)\longmapsto (x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta),\] soit un changement de variables. Soit \(F\) la fonction définie par \[F(r,\theta)=f(r\cos\theta, r\sin\theta).\] C’est ‘‘l’expression de \(f\) en coordonnées polaires’’. Montrer que \[\begin{equation} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)= \frac{\partial^2F}{\partial r^2}(r,\theta)+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r}(r,\theta)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2}(r,\theta). \label{laplace} \end{equation}\] Cette formule calcule “le Laplacien en coordonnées polaires.” L’exercice ne dépend pas de la connaissance du Laplacien cependant.