exo7 2639

Soit $f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R$ une fonction de classe $C^2$ et soient $r$ et $\theta$ les coordonnées polaires standard dans le plan de telle sorte que l’association $$]0,+\infty[\times ]0,2\pi[\longrightarrow \R^2\setminus\{(0,0)\}, \quad (r,\theta)\longmapsto (x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta),$$ soit un changement de variables. Soit $F$ la fonction définie par $$F(r,\theta)=f(r\cos\theta, r\sin\theta).$$ C’est ‘‘l’expression de $f$ en coordonnées polaires’’. Montrer que $$\begin{equation} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)= \frac{\partial^2F}{\partial r^2}(r,\theta)+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r}(r,\theta)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2}(r,\theta). \label{laplace} \end{equation}$$ Cette formule calcule “le Laplacien en coordonnées polaires.” L’exercice ne dépend pas de la connaissance du Laplacien cependant.