Pour \((x,y)\in\Rr^2\), \(x^2+y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\) et donc \(f\) est définie sur \(\Rr^2\). \(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr^2\setminus\{(0,0)\}\) en tant que quotient de fonctions de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr^2\setminus\{(0,0)\}\) dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(\Rr^2\setminus\{(0,0)\}\).

Pour \((x,y)\neq(0,0)\), \(|f(x,y)|\leqslant\frac{|xy|(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=|xy|\). Comme \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}|xy|=0\), on en déduit que \(\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,0)\\(x,y)\neq(0,0)}}f(x,y)=0=f(0,0)\). Ainsi, \(f\) est continue en \((0,0)\) et donc sur \(\Rr^2\). Existence de \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\). Pour \(x\neq0\),

\(\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\frac{x\times0\times(x^2-0^2)}{x\times(x^2+0^2)}=0\),

et donc \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0\). Ainsi, \(f\) admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en \((0,0)\) et \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0\). Pour \((x,y)\neq(0,0)\), \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\frac{(3x^2-y^2)(x^2+y^2)-(x^3-y^2x)(2x)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\).

Finalement, \(f\) admet sur \(\Rr^2\) une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par

\(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \rule[-4mm]{0mm}{0mm}0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0)\\ \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0) \end{array} \right.\).

Pour \((x,y)\in\Rr^2\), \(f(y,x)=-f(x,y)\). Par suite, \(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial f}{\partial x}(y,x)\). En effet, pour \((x_0,y_0)\) donné dans \(\Rr^2\)

\(\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\frac{-f(y,x_0)+f(y_0,x_0)}{y-y_0}=-\frac{f(y,x_0)-f(y_0,x_0)}{y-y_0}\underset{y\rightarrow y_0}{\rightarrow}-\frac{\partial f}{\partial x}(y_0,x_0)\).

Donc, \(f\) admet sur \(\Rr^2\) une dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable définie par

\(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial f}{\partial x}(y,x)=\left\{ \begin{array}{l} \rule[-4mm]{0mm}{0mm}0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0)\\ \frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0) \end{array} \right.\).

Continuité de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) en \((0,0)\). Pour \((x,y)\neq(0,0)\),

\(\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|=\frac{|y(x^4+4x^2y^2-y^4)|}{(x^2+y^2)^2}\leqslant\frac{|y|(x^4+4x^2y^2+y^4)}{(x^2+y^2)^2}\leqslant\frac{|y|(2x^4+4x^2y^2+2y^4)}{(x^2+y^2)^2}=2|y|\).

Comme \(2|y|\) tend vers \(0\) quand \((x,y)\) tend vers \((0,0)\), \(\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|\) tend vers \(0\) quand \((x,y)\) tend vers \((0,0)\). On en déduit que l’application \(\frac{\partial f}{\partial x}\) est continue en \((0,0)\) et donc sur \(\Rr^2\). Enfin, puisque \(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial f}{\partial x}(y,x)\), \(\frac{\partial f}{\partial y}\) est continue sur \(\Rr^2\). \(f\) est donc au moins de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\). Pour \(x\neq0\), \(\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}=\frac{x^4}{x^4}=1\) et donc \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}=1\). Donc \(\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)\) existe et \(\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)=1\). Pour \(y\neq0\), \(\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(y,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}=-\frac{y^4}{y^4}=-1\) et donc \(\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(y,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}=-1\). Donc \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)\) existe et \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)=-1\). \(\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)\neq\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)\) et donc \(f\) n’est pas de classe \(C^2\) sur \(\Rr^2\) d’après le théorème de Schwarz.

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