Pour $(x,y)\in\Rr^2$ , $x^2+y^2=0\Leftrightarrow x=y=0$ et donc $f$ est définie sur $\Rr^2$ . $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ en tant que quotient de fonctions de classe $C^\infty$ sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ .

Pour $(x,y)\neq(0,0)$ , $|f(x,y)|\leqslant\frac{|xy|(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=|xy|$ . Comme $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}|xy|=0$ , on en déduit que $\displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\rightarrow(0,0)\\(x,y)\neq(0,0)}}f(x,y)=0=f(0,0)$ . Ainsi, $f$ est continue en $(0,0)$ et donc sur $\Rr^2$ . Existence de $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ . Pour $x\neq0$ ,

$\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\frac{x\times0\times(x^2-0^2)}{x\times(x^2+0^2)}=0$ ,

et donc $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0$ . Ainsi, $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en $(0,0)$ et $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ . Pour $(x,y)\neq(0,0)$ , $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\frac{(3x^2-y^2)(x^2+y^2)-(x^3-y^2x)(2x)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$ .

Finalement, $f$ admet sur $\Rr^2$ une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par

$\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \rule[-4mm]{0mm}{0mm}0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0)\\ \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0) \end{array} \right.$ .

Pour $(x,y)\in\Rr^2$ , $f(y,x)=-f(x,y)$ . Par suite, $\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial f}{\partial x}(y,x)$ . En effet, pour $(x_0,y_0)$ donné dans $\Rr^2$

$\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}=\frac{-f(y,x_0)+f(y_0,x_0)}{y-y_0}=-\frac{f(y,x_0)-f(y_0,x_0)}{y-y_0}\underset{y\rightarrow y_0}{\rightarrow}-\frac{\partial f}{\partial x}(y_0,x_0)$ .

Donc, $f$ admet sur $\Rr^2$ une dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable définie par

$\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial f}{\partial x}(y,x)=\left\{ \begin{array}{l} \rule[-4mm]{0mm}{0mm}0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0)\\ \frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0) \end{array} \right.$ .

Continuité de $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ en $(0,0)$ . Pour $(x,y)\neq(0,0)$ ,

$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|=\frac{|y(x^4+4x^2y^2-y^4)|}{(x^2+y^2)^2}\leqslant\frac{|y|(x^4+4x^2y^2+y^4)}{(x^2+y^2)^2}\leqslant\frac{|y|(2x^4+4x^2y^2+2y^4)}{(x^2+y^2)^2}=2|y|$ .

Comme $2|y|$ tend vers $0$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ , $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right|$ tend vers $0$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ . On en déduit que l’application $\frac{\partial f}{\partial x}$ est continue en $(0,0)$ et donc sur $\Rr^2$ . Enfin, puisque $\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial f}{\partial x}(y,x)$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ est continue sur $\Rr^2$ . $f$ est donc au moins de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ . Pour $x\neq0$ , $\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}=\frac{x^4}{x^4}=1$ et donc $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x-0}=1$ . Donc $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)$ existe et $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)=1$ . Pour $y\neq0$ , $\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(y,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}=-\frac{y^4}{y^4}=-1$ et donc $\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(y,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y-0}=-1$ . Donc $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)$ existe et $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)=-1$ . $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)\neq\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)$ et donc $f$ n’est pas de classe $C^2$ sur $\Rr^2$ d’après le théorème de Schwarz.

$f$ est de classe $C^1$ exactement sur $\Rr^2$ .

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