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Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow x^5 + \lambda x^3 + \mu x^2 -1 = 0\). Montrer qu’il existe un voisinage, \(V\), de \((0,0)\) et \(\varphi : V \to \R\) tels que : \[\begin{align*}&\varphi \text{ est } \mathcal{C}^\infty\\ &\varphi(0,0) = 1\cr &\forall\ (\lambda,\mu)\in V,\ \varphi(\lambda,\mu) \text{ est racine simple de } (*).\\ \end{align*}\] Donner le DL à l’ordre \(2\) de \(\varphi\) en \((0,0)\).