Puisque la fonction \(\ch\) ne s’annule pas sur \(\Rr\), \(g\) est de classe \(C^2\) sur \(\Rr^2\) et pour \((x,y)\in\Rr^2\),

\(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=-2 \frac{\sin(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)\)

puis

\[\begin{align*}\ensuremath \frac{\partial^2g}{\partial x^2}(x,y)&=-4 \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{\sin^2(2x)}{\ch^2(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)\\ &=-4 \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{1-\cos^2(2x)}{\ch^2(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right). \end{align*}\]

De même,

\(\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=-2 \frac{\cos(2x)\sh(2y)}{\ch^2(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)\)

puis

\[\begin{align*}\ensuremath \frac{\partial^2g}{\partial y^2}(x,y)&=-2\cos(2x) \frac{2\ch^3(2y)-4\sh^2(2y)\ch(2y)}{\ch^4(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{\cos^2(2x)\sh^2(2y)}{\ch^4(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)\\ &=-4 \frac{\cos(2x)}{\ch^3(2y)}(-\ch^2(2y)+2)f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{\cos^2(2x)(\ch^2(2y)-1)}{\ch^4(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right). \end{align*}\]

Donc, pour tout \((x,y)\in\Rr^2\),

\[\begin{align*}\ensuremath \frac{\ch^2(2y)}{4}\Delta g(x,y)&=-2 \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+\left(1- \frac{\cos^2(2x)}{\ch^2(2y)}\right)f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right). \end{align*}\]

Maintenant, pour \((x,y)\in\Rr^2\), \(-1\leqslant \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\leqslant1\) et d’autre part, l’expression \(\frac{\cos(2x)}{\ch(2\times)}=\cos(2x)\) décrit \([-1,1]\) quand \(x\) décrit \(\Rr\). Donc \(\left\{ \frac{\cos(2x)}{\ch(2\times)},\;(x,y)\in\Rr^2\right\}=[-1,1]\). Par suite,

\(\forall(x,y)\;\Rr^2,\;\Delta g(x,y)=0\Leftrightarrow\forall t\in[-1,1],\;(1-t^2)f''(t)-2tf'(t)=0\).

On cherche une application \(f\) de classe \(C^2\) sur \(]-1,1[\). Or \(\left| \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right|=1\Leftrightarrow|\cos(2x)|=\ch(2y)\Leftrightarrow|\cos(2x)|=\ch(2y)=1\Leftrightarrow y=0\;\text{et}\;x\in \frac{\pi}{2}\Zz\). Donc

\[\begin{align*}\ensuremath \forall(x,y)\;\Rr^2\setminus\left\{\left( \frac{k\pi}{2},0\right),\;k\in\Zz\right\},\;\Delta g(x,y)=0&\Leftrightarrow\forall t\in]-1,1[,\;(1-t^2)f''(t)-2tf'(t)=0\\ &\Leftrightarrow\forall t\in]-1,1[,\;((1-t^2)f')'(t)=0\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall t\in]-1,1[,\;f'(t)= \frac{\lambda}{1-t^2}\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall t\in]-1,1[,\;f(t)=\lambda\Argth t+\mu. \end{align*}\]

De plus, \(f\) n’est pas constante si et seulement si \(\mu=0\).

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