Puisque la fonction $\ch$ ne s’annule pas sur $\Rr$ , $g$ est de classe $C^2$ sur $\Rr^2$ et pour $(x,y)\in\Rr^2$ ,

$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=-2 \frac{\sin(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)$

puis

$\begin{align*}\ensuremath \frac{\partial^2g}{\partial x^2}(x,y)&=-4 \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{\sin^2(2x)}{\ch^2(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)\\ &=-4 \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{1-\cos^2(2x)}{\ch^2(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right). \end{align*}$

De même,

$\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=-2 \frac{\cos(2x)\sh(2y)}{\ch^2(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)$

puis

$\begin{align*}\ensuremath \frac{\partial^2g}{\partial y^2}(x,y)&=-2\cos(2x) \frac{2\ch^3(2y)-4\sh^2(2y)\ch(2y)}{\ch^4(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{\cos^2(2x)\sh^2(2y)}{\ch^4(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)\\ &=-4 \frac{\cos(2x)}{\ch^3(2y)}(-\ch^2(2y)+2)f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+4 \frac{\cos^2(2x)(\ch^2(2y)-1)}{\ch^4(2y)}f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right). \end{align*}$

Donc, pour tout $(x,y)\in\Rr^2$ ,

$\begin{align*}\ensuremath \frac{\ch^2(2y)}{4}\Delta g(x,y)&=-2 \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}f'\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)+\left(1- \frac{\cos^2(2x)}{\ch^2(2y)}\right)f''\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right). \end{align*}$

Maintenant, pour $(x,y)\in\Rr^2$ , $-1\leqslant \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\leqslant1$ et d’autre part, l’expression $\frac{\cos(2x)}{\ch(2\times)}=\cos(2x)$ décrit $[-1,1]$ quand $x$ décrit $\Rr$ . Donc $\left\{ \frac{\cos(2x)}{\ch(2\times)},\;(x,y)\in\Rr^2\right\}=[-1,1]$ . Par suite,

$\forall(x,y)\;\Rr^2,\;\Delta g(x,y)=0\Leftrightarrow\forall t\in[-1,1],\;(1-t^2)f''(t)-2tf'(t)=0$ .

On cherche une application $f$ de classe $C^2$ sur $]-1,1[$ . Or $\left| \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right|=1\Leftrightarrow|\cos(2x)|=\ch(2y)\Leftrightarrow|\cos(2x)|=\ch(2y)=1\Leftrightarrow y=0\;\text{et}\;x\in \frac{\pi}{2}\Zz$ . Donc

$\begin{align*}\ensuremath \forall(x,y)\;\Rr^2\setminus\left\{\left( \frac{k\pi}{2},0\right),\;k\in\Zz\right\},\;\Delta g(x,y)=0&\Leftrightarrow\forall t\in]-1,1[,\;(1-t^2)f''(t)-2tf'(t)=0\\ &\Leftrightarrow\forall t\in]-1,1[,\;((1-t^2)f')'(t)=0\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall t\in]-1,1[,\;f'(t)= \frac{\lambda}{1-t^2}\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall t\in]-1,1[,\;f(t)=\lambda\Argth t+\mu. \end{align*}$

De plus, $f$ n’est pas constante si et seulement si $\mu=0$ .

L’application $t\mapsto\Argth t$ convient.

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