On munit $(\Rr^3)^2$ de la norme définie par $\forall(x,y)\in(\Rr^3)^2$ , $\|(x,y)\|=\text{Max}\{\|h\|_2,\|k\|_2\}$ .

Soit $(a,b)\in(\Rr^3)^2$ . Pour $(h,k)\in(\Rr^3)^2$ ,

$f((a,b)+(h,h))=(a+h).(b+k)=a.b+a.h+b.k+h.k$ ,

et donc $f((a,b)+(h,h))-f((a,b))=(a.h+b.k)+h.k$ . Maintenant l’application $L~:~(h,k)\mapsto a.h+b.k$ est linéaire et de plus, pour $(h,k)\neq(0,0)$ ,

$|f((a,b)+(h,h))-f((a,b))-L((h,k))|=|h.k|\leqslant\|h\|_2\|k\|_2\leqslant\|(h,k)\|^2$ ,

et donc $\frac{1}{\|(h,k)\|}|f((a,b)+(h,h))-f((a,b))-L((h,k))|\leqslant\|(h,k)\|$ puis

$\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{1}{\|(h,k)\|}|f((a,b)+(h,h))-f((a,b))-L((h,k))|=0$ .

Puisque l’application $(h,k)\mapsto a.h+b.k$ est linéaire, on en déduit que $f$ est différentiable en $(a,b)$ et que $\forall(h,k)\in(\Rr^3)^2$ , $df_{(a,b)}(h,k)=a.h+b.k$ .

La démarche est analogue pour le produit vectoriel :

$\frac{1}{\|(h,k)\|}\|(a+h)\wedge(b+k)-a\wedge b-a\wedge h-b\wedge k\|_2= \frac{\|h\wedge k\|_2}{\|(h,k)\|}\leqslant \frac{\|h\|_2\|k\|_2}{\|(h,k)\|}\leqslant\|(h,k)\|$ .

Puisque l’application $(h,k)\mapsto a\wedge h+b\wedge k$ est linéaire, on en déduit que $g$ est différentiable en $(a,b)$ et que $\forall(h,k)\in(\Rr^3)^2$ , $dg_{(a,b)}(h,k)=a\wedge h+b\wedge k$ .

exo7 5899