L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 8 questions

Étude d'une fonction

Soit f ⁣:R2→Rf \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} une fonction définie par f(x,y)=x3+y3−3xy−1f(x,y) = x^3+y^3-3xy-1

1

Vérifier que ff admet deux points critiques (stationnaires) : (0,0)(0,0) et (1,1)(1,1).

2

La fonction ff admet-elle un maximum ou un minimum local sur R2\mathbb{R}^2 ?

3

Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel représente des lignes de niveaux de ff ? Justifier brièvement.

Image 1

Image 2

Image 3

N3
4

Calculer lim⁡x→+∞f(x,0)\lim\limits_{x \to +\infty} f(x,0) et lim⁡x→−∞f(x,0)\lim\limits_{x \to -\infty} f(x,0).

5

La fonction ff admet-elle un maximum ou un minimum global sur R2\mathbb{R}^2 ?

Soit l’ensemble D={(x,y)∈R2 ∣ x3+y3−3xy≤8 , x≥0 , y≥0}D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \mid \, x^3 + y^3 - 3xy \leq 8\, , \, x \geq 0 \, , \, y \geq 0 \} dont voici une représentation graphique ci-dessous.

Image 4

Représentation graphique de DD.
6

Vérifier par le calcul que les deux points de coordonnées respectives (1,1)(1,1) et (0,2)(0,2) appartiennent à DD. Ces deux points appartiennent-ils à l’intérieur de DD ou au bord (frontière) de DD ?

7

Justifier que la fonction ff admet un maximum et un minimum global sur DD.

8

Déterminer les extrema de ff sur DD en précisant en quel(s) point(s) ils sont atteints.

Exercice aiup

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