Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par \[f(x,y) = x^3+y^3-3xy-1\]
Vérifier que \(f\) admet deux points critiques (stationnaires) : \((0,0)\) et \((1,1)\).
La fonction \(f\) admet-elle un maximum ou un minimum local sur \(\mathbb{R}^2\) ?
Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel représente des lignes de niveaux de \(f\) ? Justifier brièvement.
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x,0)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x,0)\).
La fonction \(f\) admet-elle un maximum ou un minimum global sur \(\mathbb{R}^2\) ?
Soit l’ensemble \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \mid \, x^3 + y^3 - 3xy \leq 8\, , \, x \geq 0 \, , \, y \geq 0 \}\) dont voici une représentation graphique ci-dessous.
Vérifier par le calcul que les deux points de coordonnées respectives \((1,1)\) et \((0,2)\) appartiennent à \(D\). Ces deux points appartiennent-ils à l’intérieur de \(D\) ou au bord (frontière) de \(D\) ?
Justifier que la fonction \(f\) admet un maximum et un minimum global sur \(D\).
Déterminer les extrema de \(f\) sur \(D\) en précisant en quel(s) point(s) ils sont atteints.