Calcul de dérivées partielles

Pour chacune des fonctions suivantes : préciser l'ensemble de définition, puis calculer $\dpa{f}{x}$, $\dpa{f}{y}$, $\dpsp{f}{x}$, $\dpsp{f}{y}$ et $\dpsm{f}{x}{y}$.

1. \question{ $f(x,y) = x^2 -6xy -6y^2 + 2x +24y$ } \reponse{La fonction $f$ est polynomiale en $x$ et $y$, elle définie sur $\R^2$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \in \R^2$ : $$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= 2x-6y+2
   \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= -6x-12y+24
   \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) &= 2
   \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) &= -12
   \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)= -6 \end{align*}$$}
2. \question{ $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - \frac{x^3}{y}$ } \reponse{La fonction $f$ est définie sur $\{ (x,y) \in \R^2 \mid y\neq 0 \}$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \in \R^2$ telles que $y \neq 0$ : $$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= 2x-\frac{3x^2}{y}
   \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= 4y+\frac{x^3}{y^2}
   \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) &= 2-\frac{6x}{y}
   \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) &= 4-2\frac{x^3}{y^3}
   \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)= \frac{3x^2}{y^2} \end{align*}$$}
3. \question{ $f(x, y) = \exp (2x^2+xy+7x+y^2)$ } \reponse{La fonction $f$ est une composée d'une exponentielle avec une fonction polynomiale en $x$ et $y$, elle définie sur $\R^2$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \in \R^2$ : $$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= (4x+y+7)\exp (2x^2+xy+7x+y^2)
   \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= (x+2y)\exp (2x^2+xy+7x+y^2)
   \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) &= (4+(4x+y+7)^2)\exp (2x^2+xy+7x+y^2)
   \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) &= (2+(x+2y)^2)\exp (2x^2+xy+7x+y^2)
   \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)= (1+(x+2y)(4x+y+7))\exp (2x^2+xy+7x+y^2) \end{align*}$$}
4. \question{ $f(x, y) = \sin(xy)$ } \reponse{La fonction $f$ est une composée d'un cosinus avec une fonction polynomiale en $x$ et $y$, elle définie sur $\R^2$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \in \R^2$ et on observe que les rôles sont symétriques en $x$ et $y$ : $$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= y\cos(xy)
   \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= x\cos(xy)
   \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) &= -y^2\sin(xy)
   \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) &= -x^2\sin(xy)
   \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)= \cos(xy)-xy\sin(xy) \end{align*}$$}
5. \question{ $f(x, y) = \ln(x + y)$ } \reponse{La fonction $f$ est une composée d'un $\ln$ avec une fonction polynomiale en $x$ et $y$, elle est définie sur le demi plan $\{ (x,y) \in \R^2 \mid x+y>0 \}$. Les dérivées partielles existent également pour tout $(x,y) \in \R^2$ telles que $x+y > 0$ et on observe que les rôles sont symétriques en $x$ et $y$ : $$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= \frac{1}{x+y}
   \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= \frac{1}{x+y}
   \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) &= -\frac{1}{(x+y)^2}
   \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) &= -\frac{1}{(x+y)^2}
   \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) &= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)= -\frac{1}{(x+y)^2 } \end{align*}$$}