L2 Analyse Fonction de plusieurs variables 2 questions

exo7 4179

Soit EE un espace euclidien et f:E→Ef : E \to E de classe C1\mathcal{C}^1, α>0\alpha > 0 vérifiant : ∀ x∈E, ∀ h∈E, (dfx(h)∣h)≥α∥h∥2.\forall\ x\in E,\ \forall\ h\in E,\ (d f_x(h)\mid h) \ge \alpha\|h\|^2.

1

Montrer pour x,y∈Ex,y\in E : (f(x)−f(y)∣x−y)≥α∥x−y∥2(f(x)-f(y)\mid x-y) \ge \alpha\|x-y\|^2. En déduire que f(E)f(E) est fermé.

2

Montrer que f(E)f(E) est ouvert puis que ff est un C1\mathcal{C}^1-difféomorphisme de EE sur EE.

Exercice 5gU8

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