On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette boite doit être égal à \(0,5m^3\).
Pour minimiser la quantité de matière utilisée, on désire que la somme des aires des faces soit minimale. Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite ?
Indication: Se ramener à un problème d’optimisation d’une fonction de deux variables.
✅ Solution
Notons \(x,y\) et \(z\) les dimensions de la boite.
Son volume (la contrainte) est donc égale à \(xyz=0,5\).
On souhaite minimiser la fonction \(f(x,y,z)=xy+2xz+2yz\).
Comme \(z=\frac{1}{2xy}\), nous savons que ce problème revient à rechercher le minimum de la fonction \(g(x,y)=xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) sur l’ouvert \(U=\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}_+^*\).
Les dérivées partielles sont alors:
\[\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y-\frac{1}{x^2} ~~\text{ et }~~
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x - \frac{1}{y^2}\]
L’unique point critique sur \(U\) est alors le point \((1,1)\).
Pour vérifier que c’est bien un minimum, on peut éventuellement calculer la hessienne.
\[H_g(x,y)= \begin{vmatrix}
2x^{-3} & 1 \\ 1 & 2y^{-3}
\end{vmatrix}\]
Ainsi, \(det(H_f(1,1))=3>0\): ainsi, \(f\) atteint bien un extremum en \((1,1)\) et comme
\(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(1,1)>0\), \(g\) atteint un minimum en \((1,1)\).
Ainsi, la boite a une aire minimale pour les valeurs \(x=1\), \(y=1\) et \(z=\frac{1}{2}\).
