Problème concret

Notons $x,y$ et $z$ les dimensions de la boite. Son volume (la contrainte) est donc égale à $xyz=0,5$. On souhaite minimiser la fonction $f(x,y,z)=xy+2xz+2yz$. Comme $z=\frac{1}{2xy}$, nous savons que ce problème revient à rechercher le minimum de la fonction $g(x,y)=xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ sur l’ouvert $U=\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}_+^*$. Les dérivées partielles sont alors: $$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y-\frac{1}{x^2} ~~\text{ et }~~ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x - \frac{1}{y^2}$$ L’unique point critique sur $U$ est alors le point $(1,1)$.
Le test de la hessienne montre que c’est un minimum local. $$H_g(x,y)= \begin{pmatrix} 2x^{-3} & 1 \\ 1 & 2y^{-3} \end{pmatrix}$$ Ainsi, $\det H_g(1,1)=3>0$ et $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(1,1)=2>0$ : $g$ atteint un minimum local en $(1,1)$. Ce minimum est global. En effet, l’inégalité arithmético-géométrique appliquée aux trois réels strictement positifs $xy$, $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$, dont le produit vaut $1$, donne pour tout $(x,y)\in U$ $$g(x,y)=xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 3\sqrt[3]{xy\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=3=g(1,1).$$ Ainsi, la boite a une aire minimale, égale à $3\,\mathrm{m}^2$, pour les valeurs $x=1$, $y=1$ et $z=\frac{1}{2}$ (en mètres).