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Étudier la continuité de la fonction $f_1:\R^2\rightarrow\R$ définie par $$f_1(x,y)=\begin{cases} \frac{(\sin x)\, (\sin y)}{\sqrt{\vert x\vert}+ \sqrt{\vert y\vert}} &\text{si\ } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 &\text{si\ } (x,y)= (0,0). \end{cases}$$

Soit $a>0$ fixé. Étudier la continuité de la fonction $f_2:\R^2\rightarrow\R$ définie par $$f_2(x,y)=\begin{cases} \frac{{\vert x\vert}^a\, {\vert y\vert}^a}{x^2+ y^2} &\text{si\ } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 &\text{si\ } (x,y)= (0,0). \end{cases}$$

Étudier la continuité de la fonction $f_3:\R^2\rightarrow\R$ définie par $$f_3(x,y)=\begin{cases} y-x^2 &\text{si\ } y>x^2\\ 0 &\text{si\ } y\le x^2. \end{cases}$$

On définit une fonction continue de l’ouvert $U=\{(x,y,z)\in \R^3 \mid xyz\neq 0\}$ dans $\R$ en posant $$f_4(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)\, \sin{\frac1x}\, \sin{\frac1y}\, \cos{\frac1z}.$$ Étudier la possibilité de prolonger $f_4$ en une fonction continue sur $\R^3$.