Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\R\). On y définit une norme par : \(\|f\|=\sqrt{ \int_{t=0}^1 f^2(t)\,d t}\). Soit \(\varphi : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que \(\varphi''\) est bornée. Pour \(f\in E\) on pose \(T(f) = \int_{t=0}^1\varphi(f(t))\,d t\).
1
Montrer que l’application ainsi définie \(T : E \to \R\) est continue.
2
Montrer que \(T\) est différentiable en tout point.