1
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). Soit un entier \(n \geq 2\) et \(f \colon \R^n \backslash \{0\} \to \R\) définie par \(f(x_1,...,x_n) = g(\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2})\).
On note \(\Delta f = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\) le laplacien de \(f\). On pose \(r=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}\).
2
Démontrer que pour tout \(x=(x_1,...,x_n) \in \R^n \backslash \{0\}\), \(\Delta f(x) = g''(r)+ \frac{n-1}{r}g'(r)\).
3
Déterminer l’ensemble des fonctions \(g\) telles que \(\Delta f = 0\).