Fonction de $n$ variables et laplacien nul

Soit $g \colon ]0;+\infty[ \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. Soit un entier $n \geq 2$ et $f \colon \R^n \backslash \{0\} \to \R$ définie par $f(x_1,...,x_n) = g(\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2})$.

On note $\Delta f = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}$ le laplacien de $f$. On pose $r=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}$.

Démontrer que pour tout $x=(x_1,...,x_n) \in \R^n \backslash \{0\}$, $\Delta f(x) = g''(r)+ \frac{n-1}{r}g'(r)$.

Déterminer l’ensemble des fonctions $g$ telles que $\Delta f = 0$.