Soit $(x,y)\in\Rr^2$ . La matrice jacobienne de $f$ en $(x,y)$ s’écrit $\left( \begin{array}{cc} c(x,y)&-s(x,y)\\ s(x,y)&c(x,y) \end{array} \right)$ où $c$ et $s$ sont deux fonctions de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ telle que $c^2+s^2=1$ $(*)$ . Il s’agit dans un premier temps de vérifier que les fonctions $c$ et $s$ sont constantes sur $\Rr^2$ .

Puisque $f$ est de classe $C^2$ sur $\Rr^2$ , d’après le théorème de Schwarz, $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ . Ceci s’écrit encore $\frac{\partial}{\partial y}\left( \begin{array}{c} c\\ s \end{array} \right)= \frac{\partial}{\partial x}\left( \begin{array}{c} -s\\ c \end{array} \right)$ ou enfin

$\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y}(x,y) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} - \frac{\partial s}{\partial x}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial c}{\partial x}(x,y) \end{array} \right)$ $(**)$ .

En dérivant $(*)$ par rapport à $x$ ou à $y$ , on obtient les égalités $c \frac{\partial c}{\partial x}+s \frac{\partial s}{\partial x}=0$ et $c \frac{\partial c}{\partial y}+s \frac{\partial s}{\partial y}=0$ . Ceci montre que les deux vecteurs $\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial x}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial x} \end{array} \right)$ et $\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y} \end{array} \right)$ sont orthogonaux au vecteur non nul $\left( \begin{array}{c} c\\ s \end{array} \right)$ et sont donc colinéaires. Mais l’égalité $(**)$ montre que les deux vecteurs $\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial x}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial x} \end{array} \right)$ et $\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y} \end{array} \right)$ sont aussi orthogonaux l’un à l’autre. Finalement, pour tout $(x,y)\in\Rr^2$ , les deux vecteurs $\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial x}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial x}(x,y) \end{array} \right)$ et $\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y}(x,y) \end{array} \right)$ sont nuls. On en déduit que les deux applications $c$ et $s$ sont constantes sur $\Rr^2$ et donc, il existe $\theta$ dans $\Rr$ tel que pour tout $(x,y)\in\Rr^2$ , la matrice jacobienne de $f$ en $(x,y)$ est $\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{array} \right)$ .

Soit $g$ la rotation d’angle $\theta$ prenant la même valeur que $f$ en $(0,0)$ . $f$ et $g$ ont mêmes différentielles en tout point et coïncident en un point. Donc $f=g$ et $f$ est une rotation affine.

Soit

f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2

de classe

C^2

dont la différentielle en tout point est une rotation.

Alors

f

est une rotation affine.

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