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Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}\)
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et que l’on a pour \(M,H\in\mathcal{M}_n(\R)\) : \(d f_M(H) = \mathrm{tr}(^t\mathrm{com}(M)H)\).
Application : soit \(M\in\mathcal{M}_n(\R)\) et \(P_M(X) = (-1)^nX^n + \dots + a_1X + \det(M)\). Exprimer \(a_1\) en fonction des cofacteurs de \(M\).