On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : \[f(x,y) = \begin{cases} \frac{3xy^2+y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0), \\[1mm] 0 & \text{sinon}. \end{cases}\]
1
Déterminer la courbe de niveau 0 de \(f\).
2
Montrer que \(f\) est continue en \((0,0)\).
3
Vérifier l’existence des dérivées partielles \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) et les calculer si elles existent.
4
La fonction \(f\) est-elle différentiable en \((0,0)\) ?
5
La fonction \(f\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^1\) en \((0,0)\) ?