L2 Analyse Fonction de plusieurs variables Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PT 5 questions

Différentiabilité d'une fonction de deux variables

On donne f:R2→Rf : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} définie par : f(x,y)={3xy2+y3x2+y2si (x,y)≠(0,0),0sinon.f(x,y) = \begin{cases} \frac{3xy^2+y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0), \\[1mm] 0 & \text{sinon}. \end{cases}

1

Déterminer la courbe de niveau 0 de ff.

2

Montrer que ff est continue en (0,0)(0,0).

3

Vérifier l’existence des dérivées partielles ∂f∂x(0,0)\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) et ∂f∂y(0,0)\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) et les calculer si elles existent.

4

La fonction ff est-elle différentiable en (0,0)(0,0) ?

5

La fonction ff est-elle de classe C1\mathcal{C}^1 en (0,0)(0,0) ?

Exercice S8kg

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