Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable telle que pour tout \(t \in \mathbb{R}\) et pour tout \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), \[f(x+t,y+t) = f(x,y).\]
On fixe \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) et pour tout \(t \in \mathbb{R}\) on pose \(g(t) = f(x+t,y+t)\). Calculer \(g'(t)\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\), en l’exprimant en fonction de \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\).
En déduire que \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0\).
On définit la fonction \(h : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\) par \(h(u,v) = f \left(\dfrac{u+v}{2}, \dfrac{u-v}{2} \right)\).
En utilisant la règle des chaînes, exprimer la dérivée partielle \(\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)\), en fonction des dérivées partielles de \(f\).
En utilisant une question précédente, en déduire que \(\frac{\partial h}{\partial u}(u,v) = 0\)
En déduire qu’il existe une fonction \(k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telle que pour tout \((x,y) \in \R^2\), \[f(x,y) = k(x-y).\]