Fonctions périodiques

On fixe $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$ on pose $g(t) = f(x+t,y+t)$. Calculer $g'(t)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$, en l’exprimant en fonction de $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$.

En déduire que $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 0$.

En utilisant la règle des chaînes, exprimer la dérivée partielle $\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)$, en fonction des dérivées partielles de $f$.

En utilisant une question précédente, en déduire que $\frac{\partial h}{\partial u}(u,v) = 0$

En déduire qu’il existe une fonction $k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que pour tout $(x,y) \in \R^2$, $$f(x,y) = k(x-y).$$