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Soient $f : {\R^3} \mapsto \R$ de classe $\mathcal{C}^2$, $\Phi : {\R^3} \to {\R^3}, {(r,\theta,\varphi)} \mapsto {(x,y,z)}$ avec $\begin{cases} x = r\cos\theta\cos\varphi\cr y = r\sin\theta\cos\varphi\cr z = r\sin\varphi,\cr \end{cases}$ et $F = f\circ \Phi$. Vérifier que : $$(\Delta f)\circ \Phi = \frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac2r\frac{\partial F}{\partial r} + \frac1{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \varphi^2} -\frac{\tan\varphi}{r^2}\frac{\partial F}{\partial \varphi} +\frac1{r^2\cos^2\varphi}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2}.$$

Pour cet exercice, il est conseillé de prendre la feuille dans le sens de la longueur, et d’y aller calmement, en vérifiant ses calculs.