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Soit la fonction \(f\) définie sur \(\R_+^n\) par \(f(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\ldots x_n}\). Chercher ses extrema quand \(x_1+\cdots+x_n = n\). En déduire que la moyenne géométrique de \(n\) nombres positifs est plus petite que leur moyenne arithmétique.