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On considère la fonction de $\R^2$ sur lui-même définie par $f(x,y)=(u,v)$, où $$u(x,y)=x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2}\quad \hbox{et}\quad v(x,y)=(x + \sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2}).$$

Calculer sa matrice jacobienne. Est-elle inversible localement ? Caractériser $f (\R^2)$.