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On considère la fonction de \(\R^2\) sur lui-même définie par \(f(x,y)=(u,v)\), où \[u(x,y)=x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2}\quad \hbox{et}\quad v(x,y)=(x + \sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2}).\]
Calculer sa matrice jacobienne. Est-elle inversible localement ? Caractériser \(f (\R^2)\).