Le minimum demandé existe car $\varphi(M,N,P)\to+\infty$ quand l’un au moins des points $M,N,P$ tend vers l’infini sur sa droite personnelle. Soient $D_1\cap D_2 = \{A\}$ , $D_2\cap D_3 = \{B\}$ , $D_3\cap D_1 = \{C\}$ et $A'$ , $B'$ , $C'$ les milieux de $[B,C]$ , $[C,A]$ et $[A,B]$ . Déjà on a $\varphi(B',C',A') = \frac32a$ et $\varphi(A,N,P) \ge 2AP \ge a\sqrt3$ donc le minimum n’est pas atteint lorsque l’un des points $M,N,P$ est confondu avec l’un des points $A,B,C$ , ni non plus si l’un des points $M,N,P$ est hors du triangle $ABC$ . Pour $N,P$ fixés hors de $D_1$ , on fait varier $M$ sur $D_1$ : $M = A + t\vec{AB}$ avec $t\in\R$ et on considère $f(t) = \varphi(M,N,P)$ . Alors $f'(t) = \Bigl(\vec{AB} \mid \frac{\vec{MN}}{MN} + \frac{\vec{MP}}{MP}\Bigr)$ donc $f(t)$ est minimal lorsque $D_1$ est la bissectrice extérieure des demi-droites $[MN)$ et $[MP)$ .

Soit $(M,N,P)$ un triplet réalisant le minimum de $\varphi$ et $\alpha,\beta,\gamma$ les angles du triangle $MNP$ en $P,M$ et $N$ . Les angles du triangle $AMN$ sont $\pi/3$ , $(\pi-\beta)/2$ et $(\pi-\gamma)/2$ d’où $2\pi/3 = \beta+\gamma = \pi-\alpha$ et donc $\alpha = \pi/3 = \beta = \gamma$ . On en déduit que $(MP)$ est paralèle à $(AB)$ , $(MN)$ à $(BC)$ et $(NP)$ à $(AC)$ puis que $(M,N,P) = (B',C',A')$ .

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