Le minimum demandé existe car \(\varphi(M,N,P)\to+\infty\) quand l’un au moins des points \(M,N,P\) tend vers l’infini sur sa droite personnelle. Soient \(D_1\cap D_2 = \{A\}\), \(D_2\cap D_3 = \{B\}\), \(D_3\cap D_1 = \{C\}\) et \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux de \([B,C]\), \([C,A]\) et \([A,B]\). Déjà on a \(\varphi(B',C',A') = \frac32a\) et \(\varphi(A,N,P) \ge 2AP \ge a\sqrt3\) donc le minimum n’est pas atteint lorsque l’un des points \(M,N,P\) est confondu avec l’un des points \(A,B,C\), ni non plus si l’un des points \(M,N,P\) est hors du triangle \(ABC\). Pour \(N,P\) fixés hors de \(D_1\), on fait varier \(M\) sur \(D_1\) : \(M = A + t\vec{AB}\) avec \(t\in\R\) et on considère \(f(t) = \varphi(M,N,P)\). Alors \(f'(t) = \Bigl(\vec{AB} \mid \frac{\vec{MN}}{MN} + \frac{\vec{MP}}{MP}\Bigr)\) donc \(f(t)\) est minimal lorsque \(D_1\) est la bissectrice extérieure des demi-droites \([MN)\) et \([MP)\).

Soit \((M,N,P)\) un triplet réalisant le minimum de \(\varphi\) et \(\alpha,\beta,\gamma\) les angles du triangle \(MNP\) en \(P,M\) et \(N\). Les angles du triangle \(AMN\) sont \(\pi/3\), \((\pi-\beta)/2\) et \((\pi-\gamma)/2\) d’où \(2\pi/3 = \beta+\gamma = \pi-\alpha\) et donc \(\alpha = \pi/3 = \beta = \gamma\). On en déduit que \((MP)\) est paralèle à \((AB)\), \((MN)\) à \((BC)\) et \((NP)\) à \((AC)\) puis que \((M,N,P) = (B',C',A')\).

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