Optimisation d'une fonction coercive

Montrer que, pour tout $(a,b)\in \mathbb{R}^2$, $$a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}(a+b)^2~~\text{et} ~~ 2(a^2+b^2)\geq (a-b)^2$$

En déduire que $$f(x,y)\geq \frac{1}{2} (x^2+y^2)^2 - 4 (x^2+y^2)$$

Montrer qu’il existe $\alpha>0$ et $\beta$ tels que $$f(x,y) \geq \alpha \|(x,y)\|^2+\beta$$ On dit d’une telle fonction qu’elle est coercive.

Soit $A>0$ un nombre positif. On désigne par $K_A$ l’ensemble $K_A=\{(x,y)\vert f(x,y)\leq A\}$. Montrer que pour $A$ suffisamment grand ($K_A \neq \emptyset$), $K_A$ est un compact de $\mathbb{R}^2$.

En déduire que $f$ admet (au moins) un minimum global sur $\mathbb{R}^2$.

Calculer la matrice Hessienne de $f$ et l’évaluer au point $(0,0)$. La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R^2$?

Déterminer les points critiques de $f$ et préciser leur nature (minimum ou maximum local, point selle...

En déduire le minimum de $f$ sur $\R^2$.