On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \[f(x,y)= x^4+y^4-2(x-y)^2\]
Montrer que, pour tout \((a,b)\in \mathbb{R}^2\), \[a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}(a+b)^2~~\text{et} ~~ 2(a^2+b^2)\geq (a-b)^2\]
En déduire que \[f(x,y)\geq \frac{1}{2} (x^2+y^2)^2 - 4 (x^2+y^2)\]
Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) et \(\beta\) tels que \[f(x,y) \geq \alpha \|(x,y)\|^2+\beta\] On dit d’une telle fonction qu’elle est coercive.
Soit \(A>0\) un nombre positif. On désigne par \(K_A\) l’ensemble \(K_A=\{(x,y)\vert f(x,y)\leq A\}\). Montrer que pour \(A\) suffisamment grand (\(K_A \neq \emptyset\)), \(K_A\) est un compact de \(\mathbb{R}^2\).
En déduire que \(f\) admet (au moins) un minimum global sur \(\mathbb{R}^2\).
Calculer la matrice Hessienne de \(f\) et l’évaluer au point \((0,0)\). La fonction \(f\) est-elle convexe sur \(\R^2\)?
Déterminer les points critiques de \(f\) et préciser leur nature (minimum ou maximum local, point selle...
En déduire le minimum de \(f\) sur \(\R^2\).