Développée. $M(\theta)=O+ae^\theta\overrightarrow{u}_\theta$ puis

$\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}=ae^\theta(\overrightarrow{u}_\theta+\overrightarrow{v}_\theta)=a\sqrt{2}e^{\theta}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{u}_\theta+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{v}_\theta\right)=a\sqrt{2}e^\theta\overrightarrow{u}_{\theta+\frac{\pi}{4}}$ .

On en déduit $\frac{ds}{d\theta}=a\sqrt{2}e^\theta$ et $\overrightarrow{\tau}(\theta)=\overrightarrow{u}_{\theta+\frac{\pi}{4}}$ . On peut alors prendre $\alpha(\theta)=\theta+\frac{\pi}{4}$ et donc $\frac{d\alpha}{d\theta}=1$ . Par suite

$R(\theta)=\frac{ds/d\theta}{d\alpha/d\theta}=\frac{a\sqrt{2}e^\theta}{1}=a\sqrt{2}e^\theta$ .

D’autre part, $\overrightarrow{n}(\theta)=\overrightarrow{\tau}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\overrightarrow{u}_{\theta+\frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\overrightarrow{u}_\theta+\overrightarrow{v}_\theta)$ et donc

$\Omega(\theta)=M(\theta)+R(\theta)\overrightarrow{n}(\theta)=O+ae^\theta\overrightarrow{u}_\theta+a\sqrt{2}e^\theta.\frac{1}{\sqrt{2}}(-\overrightarrow{u}_\theta+\overrightarrow{v}_\theta)=O+ae^\theta\overrightarrow{v}_\theta=r_{O,\frac{\pi}{2}}(M(\theta))$ .

La développée de la spirale logarithmique d’équation polaire $r=ae^{\theta}$ est l’image de cette spirale par le quart de tour direct de centre $O$ .

\[\]

exo7 5534