Soient $\theta\in[-\pi,\pi]$ puis $M=O+a(1+\cos\theta)\overrightarrow{u}_{\theta}$ le point de $\mathcal{C}$ de paramètre $\theta$ .

$\begin{align*}\ensuremath \overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}&=-a\sin\theta\overrightarrow{u}_{\theta}+a(1+\cos\theta)\overrightarrow{v}_{\theta}=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(-\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{u}_{\theta}+\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{v}_{\theta}\right)\\ &=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\overrightarrow{u}_{\theta}+\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\overrightarrow{v}_{\theta}\right)=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{u}_{\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{2}}. \end{align*}$ Longueur $\ell$ de la cardioïde. On a $\left\|\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}\right\|=\left|2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ (pour $\theta\in[-\pi,\pi]$ ) et donc

$\ell=\int_{-\pi}^{\pi}\left\|\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}\right\|d\theta=2a\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\theta/2)\;d\theta=4a\left[\sin(\theta/2)\right]_{-\pi}^\pi=8a$ .

La cardioïde d’équation polaire $r=a(1+\cos\theta)$ , $a>0$ , a pour longueur $8a$ .

Développée. Le point $M(\theta)$ est régulier si et seulement si $\theta\neq\pm\pi$ . Dans ce cas,

$\frac{ds}{d\theta}=\left\|\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}\right\|=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et aussi $\overrightarrow{\tau}(\theta)=\overrightarrow{u}_{\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{2}}$

En notant $\alpha(\theta)$ une mesure de l’angle $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{\tau}(\theta)\right)$ , on peut prendre $\alpha(\theta)=\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{2}$ . En notant $R(\theta)$ le rayon de courbure au point $M(\theta)$ ,

$R(\theta)=\frac{ds}{d\alpha}=\frac{ds/d\theta}{d\alpha/d\theta}=\frac{4}{3}a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ .

Ensuite, $\overrightarrow{n}(\theta)=r_{\pi/2}\left(\overrightarrow{\tau}(\theta)\right)=-\overrightarrow{u}_{3\theta/2}$ et donc, en notant $\Omega(\theta)$ le centre de courbure au point $M(\theta)$ ,

$\begin{align*}\ensuremath \Omega(\theta)&=M(\theta)+R(\theta)\overrightarrow{n}(\theta)\\ &=O+a(1+\cos\theta)\overrightarrow{u}_\theta-\frac{4}{3}a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{u}_{3\theta/2}\\ &=O+a(1+\cos\theta)\left(\cos(\theta)\overrightarrow{i}+\sin(\theta)\overrightarrow{j}\right)-\frac{4}{3}a\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{3\theta}{2}\right)\overrightarrow{i}+\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)\overrightarrow{j}\right)\\ &=O+a\left[\left(\cos(\theta)+\cos^2(\theta)-\frac{2}{3}(\cos(\theta)+\cos(2\theta))\right)\overrightarrow{i}+\left(\sin(\theta)+\sin(\theta)\cos(\theta)-\frac{2}{3}(\sin(\theta)+\sin(2\theta))\right)\overrightarrow{j}\right]\\ &=O+a\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cos(\theta)-\frac{1}{3}\cos^2(\theta)\right)\overrightarrow{i}+\left(\frac{1}{3}\sin(\theta)-\frac{1}{3}\sin(\theta)\cos(\theta)\right)\overrightarrow{j}\right]\\ &=O+\frac{2a}{3}\overrightarrow{i}+\frac{a}{3}(1-\cos\theta)\overrightarrow{u}_\theta \end{align*}$ Notons $\Gamma$ la développée cherchée. On a $\Gamma=t\circ h(\mathcal{C}_1)$ où $t$ est la translation de vecteur $\frac{2a}{3}\overrightarrow{i}$ , $h$ est l’homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{3}$ et $\mathcal{C}_1$ la courbe d’équation polaire $r=a(1-\cos\theta)$ . Maintenant, en notant $r$ la fonction $\theta\mapsto a(1+\cos\theta)$ et $r_1$ la fonction $\theta\mapsto a(1-\cos\theta)$ ,

$[r_1(\theta+\pi),\theta+\pi)]=[a(1+\cos\theta),\theta+\pi]=s_O([r(\theta),\theta)])$ .

La courbe $\mathcal{C}_1$ est donc la symétrique par rapport à $O$ de la courbe $\mathcal{C}$ . En résumé, la développée de $\mathcal{C}$ est l’image de $\mathcal{C}$ par la transformation $t\circ h\circ s_O$ : c’est encore une cardioïde.

\[\]

exo7 5532