Soient \(\theta\in[-\pi,\pi]\) puis \(M=O+a(1+\cos\theta)\overrightarrow{u}_{\theta}\) le point de \(\mathcal{C}\) de paramètre \(\theta\).

\[\begin{align*}\ensuremath \overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}&=-a\sin\theta\overrightarrow{u}_{\theta}+a(1+\cos\theta)\overrightarrow{v}_{\theta}=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(-\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{u}_{\theta}+\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{v}_{\theta}\right)\\ &=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\overrightarrow{u}_{\theta}+\sin\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\overrightarrow{v}_{\theta}\right)=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{u}_{\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{2}}. \end{align*}\] Longueur \(\ell\) de la cardioïde. On a \(\left\|\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}\right\|=\left|2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\) (pour \(\theta\in[-\pi,\pi]\)) et donc

\(\ell=\int_{-\pi}^{\pi}\left\|\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}\right\|d\theta=2a\int_{-\pi}^{\pi}\cos(\theta/2)\;d\theta=4a\left[\sin(\theta/2)\right]_{-\pi}^\pi=8a\).

Développée. Le point \(M(\theta)\) est régulier si et seulement si \(\theta\neq\pm\pi\). Dans ce cas,

\(\frac{ds}{d\theta}=\left\|\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}\right\|=2a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\) et aussi \(\overrightarrow{\tau}(\theta)=\overrightarrow{u}_{\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{2}}\)

En notant \(\alpha(\theta)\) une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{\tau}(\theta)\right)\), on peut prendre \(\alpha(\theta)=\frac{3\theta}{2}+\frac{\pi}{2}\). En notant \(R(\theta)\) le rayon de courbure au point \(M(\theta)\),

\(R(\theta)=\frac{ds}{d\alpha}=\frac{ds/d\theta}{d\alpha/d\theta}=\frac{4}{3}a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\).

Ensuite, \(\overrightarrow{n}(\theta)=r_{\pi/2}\left(\overrightarrow{\tau}(\theta)\right)=-\overrightarrow{u}_{3\theta/2}\) et donc, en notant \(\Omega(\theta)\) le centre de courbure au point \(M(\theta)\),

\[\begin{align*}\ensuremath \Omega(\theta)&=M(\theta)+R(\theta)\overrightarrow{n}(\theta)\\ &=O+a(1+\cos\theta)\overrightarrow{u}_\theta-\frac{4}{3}a\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\overrightarrow{u}_{3\theta/2}\\ &=O+a(1+\cos\theta)\left(\cos(\theta)\overrightarrow{i}+\sin(\theta)\overrightarrow{j}\right)-\frac{4}{3}a\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{3\theta}{2}\right)\overrightarrow{i}+\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)\overrightarrow{j}\right)\\ &=O+a\left[\left(\cos(\theta)+\cos^2(\theta)-\frac{2}{3}(\cos(\theta)+\cos(2\theta))\right)\overrightarrow{i}+\left(\sin(\theta)+\sin(\theta)\cos(\theta)-\frac{2}{3}(\sin(\theta)+\sin(2\theta))\right)\overrightarrow{j}\right]\\ &=O+a\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cos(\theta)-\frac{1}{3}\cos^2(\theta)\right)\overrightarrow{i}+\left(\frac{1}{3}\sin(\theta)-\frac{1}{3}\sin(\theta)\cos(\theta)\right)\overrightarrow{j}\right]\\ &=O+\frac{2a}{3}\overrightarrow{i}+\frac{a}{3}(1-\cos\theta)\overrightarrow{u}_\theta \end{align*}\] Notons \(\Gamma\) la développée cherchée. On a \(\Gamma=t\circ h(\mathcal{C}_1)\) où \(t\) est la translation de vecteur \(\frac{2a}{3}\overrightarrow{i}\), \(h\) est l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\frac{1}{3}\) et \(\mathcal{C}_1\) la courbe d’équation polaire \(r=a(1-\cos\theta)\). Maintenant, en notant \(r\) la fonction \(\theta\mapsto a(1+\cos\theta)\) et \(r_1\) la fonction \(\theta\mapsto a(1-\cos\theta)\),

\([r_1(\theta+\pi),\theta+\pi)]=[a(1+\cos\theta),\theta+\pi]=s_O([r(\theta),\theta)])\).

La courbe \(\mathcal{C}_1\) est donc la symétrique par rapport à \(O\) de la courbe \(\mathcal{C}\). En résumé, la développée de \(\mathcal{C}\) est l’image de \(\mathcal{C}\) par la transformation \(t\circ h\circ s_O\) : c’est encore une cardioïde.

\[\]

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